Bài Tập Bất Đẳng Thức Cosi Và Các Dạng Bài Tập Có Lời Giải Chi Tiết Từ A

Trong nội dung bài viết này, shop chúng tôi sẽ share tới các bạn lý thuyết về bất đẳng thức Cosi và những dạng bài tập bất đẳng thức Cosi thường gặp mặt từ cơ bản đến nâng cao trong các đề thi trung học phổ quát và đại học.

Bạn đang xem: Bài tập bất đẳng thức cosi

Bất đẳng thức cosi

Trong nghành toán học, bất đẳng thức cosi là khái niệm dùng để làm chỉ bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và vừa đủ nhân của n số thực ko âm. Giả sử a1 ,a2,…, an là các số thực bất kì và b1, b2,…, bn là những số thực dương. Lúc đó, ta luôn luôn có:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Bất đẳng thức cosi mang đến 2 số không âm

Dấu bằng xẩy ra khi còn chỉ khi a = b

Bất đẳng thức cosi mang đến 3 số không âm

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ còn khi a = b = c

Bất đẳng thức cosi đến 4 số không âm

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ còn khi a = b = c = d

Bất đẳng thức cosi mang đến n số không âm

Với x1, x2,…, xn là n số thực ko âm, lúc ấy ta có

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ còn khi x1 = x2 =… = xn

Dạng tổng quát của bất đẳng thức cosi

Cho x1,x2,..,xn là các số thực dương ta có:

Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x1 = x2 =… = xn

Cho x1,x2,..,xn là những số thực âm ta có:

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ còn khi x1 = x2 =… = xn

Các bất đẳng thức cosi quánh biệt

Hệ quả của bất đẳng thức Cosi

Tham khảo:

Bài tập về bất đẳng thức cosi

Dạng 1: áp dụng trực tiếp BĐT côsi

Ví dụ1: mang lại a, b là số dương thỏa mãn nhu cầu a2 + b2 = 2.

Xem thêm: Uống Nước Nha Đam Có Tác Dụng Gì, Uống Nha Đam Hằng Ngày Có Tốt Không

Chứng minh rằng (a+b)5 ≥ 16ab √(1+a2)(1+b2)

Lời giải:

Ta có (a+b)5 = (a2 + 2ab + b2 )(a3 + 3ab2 + 3a2b + b3)

Áp dụng BĐT cosi ta có:

a2 + 2ab + b2 ≥ 2√2ab(a2 + b2) = 4√ab

(a3 + 3ab2 ) (3a2b+b3) ≥ 2√(a3 + 3ab2 ) (3a2b+b3) = 4√ab (1 + b2)(a2 + 1)

=> (a2 + 2ab + b2 )(a3 + 3ab2 + 3a2b + b3) ≥ 16ab√(a2 + 1)( b2 +1)

=> vì vậy (a + b)5 ≥ 16ab√(a2 + 1)( b2 +1) điều bắt buộc chứng minh

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ còn khi a = b = 1

Ví dụ 2: cho 2 số không âm a, b. CHứn minh (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab

Lời giải

Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số thực không âm ta có:

=> (1 + b)(1 + ab) ≥ 2√ab.2√ab = 4ab DPCM

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ còn khi a = b = 1

Dạng 2: kỹ năng tách, thêm bớt, ghép cặp

Phương pháp:

Để minh chứng BĐT ta thường phải biến hóa (nhân chia, thêm, sút một biểu thức) để chế tác biểu thức hoàn toàn có thể giản cầu được sau khi áp dụng BĐT côsi.Khi gặp gỡ BĐT gồm dạng x + y + z ≥ a + b + c (hoặc xyz ≥ abc), ta thường xuyên đi chứng minh x + y ≥ 2a (hoặc ab ≤ x2), xây dựng các BĐT giống như rồi cộng(hoặc nhân) vế cùng với vế ta suy ra điều phải chứng minh.Khi tách và vận dụng BĐT côsi ta phụ thuộc việc bảo vệ dấu bằng xảy ra(thường vết bằng xẩy ra khi những biến bằng nhau hoặc trên biên).

Ví dụ 1: đến a, b, c là số dương thỏa mãn nhu cầu a + b + c = 3.

Chứng minh rằng 8( a + b )(b + c)(c + a) ≤ (3 + a)(3 + b)(3 + c)