1. Các định nghĩa:
1.1 Định nghĩa 1:
Ta nói dãy điểm





Bạn đang xem: Bài tập giới hạn hàm nhiều biến có lời giải
Nhận xét:
Vì

nên :

Ví dụ 1:


1.2 Định nghĩa 2:
Điểm



1.3 Định nghĩa 3:
Giả sử hàm số z = f(x,y) xác định trong một lân cận V nào đó của điểm


Ta nói L là giới hạn của hàm số f(x; y) khi M(x;y) dần tiến đến




Khi đó, ta viết:


1.4 Định nghĩa 4:
L là giới hạn của hàm số f(x; y) khi



Nhận xét:
1. Từ định nghĩa, rõ ràng giới hạn tồn tại là duy nhất. Do đó, f(x; y) phần dần tới cùng số L dù (x; y) dần đến


2. Khái niệm giới hạn trên đôi lúc chúng ta còn gọi là giới hạn kép của hàm hai biến số.
3. Để chứng minh hàm số không tồn tại giới hạn, Ta xét 2 dãy




4. Các tính chất giới hạn của tổng, tích, thương của hàm hai biến hoàn toàn tương tự với tính chất của hàm 1 biến
Ghi chú: Ta quy ước tất cả giới hạn được lấy khi

2. Định lý:
Cho

1.

2.

3.

4.

3. Định lý giới hạn kẹp:
Giả sử f(x; y), g(x; y) và h(x;y) cùng xác định trên D , và:

Hơn nữa:

Khi đó:

4. Các ví dụ:
a.

b.

Cách 1: Ta xét hai dãy

Ta có:

Và:

nhưng

Vậy hàm số đã cho không có giới hạn.
Cách 2: Xét dãy điểm (x; y) tiến đến (0; 0) theo đường thẳng y = kx. (k – hằng số). Ta có:

Do đó, giới hạn hàm số phụ thuộc theo hệ số góc k. Nên, với những giá trị k khác nhau ta sẽ có giá trị giới hạn khác nhau.
Vậy hàm số đã cho không có giới hạn.
Xem thêm: Tải Đề Thi Giữa Kì 1 Lớp 2 Môn Tiếng Việt Mới Nhất, Đề Thi Giữa Kì 1 Lớp 2 Môn Tiếng Việt Mới Nhất
c.

Ta có:

Mà:

nên theo định lý giới hạn kẹp ta có:

Vậy:

5. Giới hạn lặp:
Xét hàm số f(x; y). Cố định giá trị


Nếu tồn tại giới hạn:


