Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng và PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

1. Các định nghĩa:

1.1 Định nghĩa 1:

Ta nói dãy điểm

*
dần đến điểm
*
và viết
*
, nếu dãy khoảng cách
*
dần đến 0 khi
*
.

Bạn đang xem: Bài tập giới hạn hàm nhiều biến có lời giải

Nhận xét:

Vì

*

nên :

*

Ví dụ 1:

*
;
*

1.2 Định nghĩa 2:

Điểm

*
là điểm tụ của tập E khi và chỉ khi có một dãy
*
sao cho
*

1.3 Định nghĩa 3:

Giả sử hàm số z = f(x,y) xác định trong một lân cận V nào đó của điểm

*
(có thể trừ điểm
*
).

Ta nói L là giới hạn của hàm số f(x; y) khi M(x;y) dần tiến đến

*
khi và chỉ khi: với mọi dãy
*
dần tiến đến
*
ta đều có:
*

Khi đó, ta viết:

*
hay
*

1.4 Định nghĩa 4:

L là giới hạn của hàm số f(x; y) khi

*
(hay là
*
nếu:

*
0,\exists \delta >0:d(M,M_0)

Nhận xét:

1. Từ định nghĩa, rõ ràng giới hạn tồn tại là duy nhất. Do đó, f(x; y) phần dần tới cùng số L dù (x; y) dần đến

*
theo kiểu gì. Trong không gian 2 chiều, càng có nhiều kiểu để (x; y) dần đến
*
, nên càng khó tồn tại giới hạn.

2. Khái niệm giới hạn trên đôi lúc chúng ta còn gọi là giới hạn kép của hàm hai biến số.

3. Để chứng minh hàm số không tồn tại giới hạn, Ta xét 2 dãy

*
,
*
cùng dần tiến về
*
nhưng :
*
.

4. Các tính chất giới hạn của tổng, tích, thương của hàm hai biến hoàn toàn tương tự với tính chất của hàm 1 biến

Ghi chú: Ta quy ước tất cả giới hạn được lấy khi

*
.

2. Định lý:

Cho

*
thì:

1.

*
= a+b " class="latex" />

2.

*
(c là hằng số hữu hạn)

3.

*
= a.b " class="latex" />

4.

*
= \dfrac{a}{b} (b \ne 0) " class="latex" />

3. Định lý giới hạn kẹp:

Giả sử f(x; y), g(x; y) và h(x;y) cùng xác định trên D , và:

*

Hơn nữa:

*

Khi đó:

*

4. Các ví dụ:

a.

*

b.

*
.

Cách 1: Ta xét hai dãy

*

Ta có:

*
.

Và:

*

nhưng

*

Vậy hàm số đã cho không có giới hạn.

Cách 2: Xét dãy điểm (x; y) tiến đến (0; 0) theo đường thẳng y = kx. (k – hằng số). Ta có:

*

Do đó, giới hạn hàm số phụ thuộc theo hệ số góc k. Nên, với những giá trị k khác nhau ta sẽ có giá trị giới hạn khác nhau.

Vậy hàm số đã cho không có giới hạn.

Xem thêm: Tải Đề Thi Giữa Kì 1 Lớp 2 Môn Tiếng Việt Mới Nhất, Đề Thi Giữa Kì 1 Lớp 2 Môn Tiếng Việt Mới Nhất

c.

*

Ta có:

*

Mà:

*

nên theo định lý giới hạn kẹp ta có:

*

Vậy:

*

5. Giới hạn lặp:

Xét hàm số f(x; y). Cố định giá trị

*
, xem hàm f(x; y) như hàm 1 biến x. Giả sử tồn tại giới hạn:

*

Nếu tồn tại giới hạn:

*
thì a được gọi là giới hạn lặp của f(x; y) khi
*
và viết:
*
.