Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến đường tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng và PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

1. Các định nghĩa:

1.1 Định nghĩa 1:

Ta nói dãy điểm

*
dần tới điểm
*
với viết
*
, ví như dãy khoảng cách
*
dần cho 0 lúc
*
.

Bạn đang xem: Bài tập giới hạn hàm nhiều biến có lời giải

Nhận xét:

Vì

*

nên :

*

Ví dụ 1:

*
;
*

1.2 Định nghĩa 2:

Điểm

*
là vấn đề tụ của tập E khi và chỉ còn khi bao gồm một dãy
*
làm thế nào cho
*

1.3 Định nghĩa 3:

Giả sử hàm số z = f(x,y) xác minh trong một ở kề bên V nào kia của điểm

*
(có thể trừ điểm
*
).

Ta nói L là giới hạn của hàm số f(x; y) lúc M(x;y) dần dần tiến cho

*
khi và chỉ khi: với đa số dãy
*
dần tiến mang đến
*
ta hầu như có:
*

Khi đó, ta viết:

*
xuất xắc
*

1.4 Định nghĩa 4:

L là giới hạn của hàm số f(x; y) lúc

*
(hay là
*
nếu:

*
0,\exists \delta >0:d(M,M_0)

Nhận xét:

1. Từ bỏ định nghĩa, rõ ràng giới hạn tồn tại là duy nhất. Vị đó, f(x; y) phần dần tới thuộc số L dù (x; y) dần đến

*
theo phong cách gì. Trong không khí 2 chiều, càng có không ít kiểu nhằm (x; y) dần mang lại
*
, phải càng khó khăn tồn tại giới hạn.

2. Khái niệm giới hạn trên đôi lúc bọn họ còn hotline là số lượng giới hạn kép của hàm hai trở thành số.

3. Để chứng tỏ hàm số không tồn trên giới hạn, Ta xét 2 dãy

*
,
*
cùng dần tiến về
*
tuy nhiên :
*
.

4. Các tính chất giới hạn của tổng, tích, mến của hàm nhì biến hoàn toàn tương trường đoản cú với tính chất của hàm 1 biến

Ghi chú: Ta quy ước toàn bộ giới hạn được lấy khi

*
.

2. Định lý:

Cho

*
thì:

1.

*
= a+b " class="latex" />

2.

*
(c là hằng số hữu hạn)

3.

*
= a.b " class="latex" />

4.

*
= \dfracab (b \ne 0) " class="latex" />

3. Định lý số lượng giới hạn kẹp:

Giả sử f(x; y), g(x; y) cùng h(x;y) cùng xác minh trên D , và:

*

Hơn nữa:

*

Khi đó:

*

4. Những ví dụ:

a.

*

b.

*
.

Cách 1: Ta xét hai dãy

*

Ta có:

*
.

Và:

*

nhưng

*

Vậy hàm số vẫn cho không có giới hạn.

Cách 2: Xét hàng điểm (x; y) tiến đến (0; 0) theo đường thẳng y = kx. (k – hằng số). Ta có:

*

Do đó, giới hạn hàm số phụ thuộc theo thông số góc k. Nên, với đông đảo giá trị k khác nhau ta sẽ có giá trị số lượng giới hạn khác nhau.

Vậy hàm số đã cho không tồn tại giới hạn.

Xem thêm: Tải Đề Thi Giữa Kì 1 Lớp 2 Môn Tiếng Việt Mới Nhất, Đề Thi Giữa Kì 1 Lớp 2 Môn Tiếng Việt Mới Nhất

c.

*

Ta có:

*

Mà:

*

nên theo định lý số lượng giới hạn kẹp ta có:

*

Vậy:

*

5. Giới hạn lặp:

Xét hàm số f(x; y). Thắt chặt và cố định giá trị

*
, coi hàm f(x; y) như hàm 1 vươn lên là x. đưa sử trường thọ giới hạn:

*

Nếu vĩnh cửu giới hạn:

*
thì a được điện thoại tư vấn là số lượng giới hạn lặp của f(x; y) lúc
*
và viết:
*
.