Bài viết này magmareport.net trình làng đến các bạn đọc lý thuyết và hạng của ma trận kèm những ví dụ và phân loại các dạng toán tự cơ bản đến cải thiện về hạng của ma trận:
1. Tìm hạng của ma trận mang lại trước
Ví dụ 1: Tìm hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1&0& - 1&2& - 1\ 2& - 1&3&1&3\ 3&2&0& - 1&2\ 2&3& - 4&0& - 2 endarray ight).$
Ví dụ 2: Cho $x,y,z$ là cha nghiệm của phương trình $t^3-2019t+4=0,$ search hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c x&y&z\ y&z&x\ z&x&y endarray ight).$
Giải. Theo vi – ét bao gồm $x+y+z=0,xy+yz+zx=0,xyz=-4$ với
Do đó $r(A)le 2.$ ngoài ra $D_12^12=xz-y^2Rightarrow yD_12^12=xyz-y^3=-4-y^3=-2019yRightarrow D_12^12=-2019 e 0.$
Vậy $r(A)ge 2Rightarrow r(A)=2.$
Ví dụ 9: Tìm hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2&3&4\ - 1&3&0&1\ 2&4&1&8\ 1&7&6&9\ 0&10&1&10 endarray
ight)$ bằng phương thức định thức bao quanh.
Bạn đang xem: Bài tập ma trận có lời giải
Giải. Có $D_12^12 = left| eginarray*20c 1&2\ - 1&3 endarray ight| = 5 e 0;D_123^123 = left| eginarray*20c 1&2&3\ - 1&3&0\ 2&4&1 endarray ight| = - 25 e 0;$
Kiểm tra những định thức cấp cho 4 bảo phủ định thức $D_123^123$ có
$D_1234^1234 = left| eginarray*20c 1&2&3&4\ - 1&3&0&1\ 2&4&1&8\ 1&7&6&9 endarray ight| = 0;D_1235^1234 = left| eginarray*20c 1&2&3&4\ - 1&3&0&1\ 2&4&1&8\ 0&10&1&10 endarray ight| = 0.$
Vậy $r(A)=3.$
Ví dụ 10: Tìm hạng của ma trận
Giải. Có
Ta xét các định thức cung cấp 5 bao bọc định thức cung cấp 4 trên
Vậy $r(A)=4.$
2. Biện luận hạng của ma trận theo tham số
Ví dụ 1: Tìm $m$ để ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2& - 1& - 1\ 2&m + 4& - 2& - 1\ 3&m + 6& - 3&m - 3 endarray ight)$có hạng bé dại nhất.
Ví dụ 2: Tìm $m$ để ma trận $A = left( eginarray*20c m&2& - 1&3\ 2&m&1&2\ 3&1&2&0 endarray ight)$có hạng nhỏ nhất.
Ví dụ 3: Tìm $a$ để hạng của ma trận sau nhỏ dại nhất, với $A = left( eginarray*20c 3&1&4&1\ a&2&3&1\ 3& - 1&1&0\ 3&3&7&2 endarray ight).$
Ví dụ 4: Cho ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2&3&4\ m&1&2& - 1\ 3&1& - 4&2 endarray ight).$ chứng minh rằng với mọi $m$ thì $r(A)=3.$
Giải. Có $D_123^234 = left| eginarray*20c 2&3&4\ 1&2& - 1\ 1&4&2 endarray ight| = 15 e 0 Rightarrow r(A) = 3,forall m.$
Ví dụ 5: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 2&3&1&2\ - 1&2&3&4\ - 1&9&10&m endarray ight).$
Ví dụ 6: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1&m& - 1&2\ 2& - 1&m&5\ 1&10& - 6&1 endarray ight).$
Ví dụ 7: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận$A = left( eginarray*20c 2&1&m&3\ - 1&2&1&4\ 4&3&2&1\ - 3&4&1&2 endarray ight).$
Ví dụ 8: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận$A = left( eginarray*20c 7 - m& - 12&6\ 10& - 19 - m&10\ 12& - 24&13 - m endarray ight).$
Ví dụ 9: Tìm hạng của ma trận sau
$A = left( eginarray*20c 1&2&...&n - 1&n\ n + 1&n + 2&...&n + n - 1&2n\ ...&...&...&...&...\ n^2 - 2n + 1&n^2 - 2n + 2&...&n^2 - 2n + n - 1&n^2 - n\ n^2 - n + 1&n^2 - n + 2&...&n^2 - n + n - 1&n^2 endarray ight).$
Ví dụ 10: Tìm $m$ để hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1& - 1&2&3\ - 1&1&3& - 1\ 1& - 1&7&m endarray ight)$ nhỏ nhất.
Ví dụ 11: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c m&2&2&2\ 2&m&2&2\ 2&2&m&2\ 2&2&2&m endarray ight).$
Giải. Có
$eginarrayl det (A) = left| eginarray*20c m&2&2&2\ 2&m&2&2\ 2&2&m&2\ 2&2&2&m endarray ight| = left| eginarray*20c m + 6&2&2&2\ m + 6&m&2&2\ m + 6&2&m&2\ m + 6&2&2&m endarray ight|(c_4 + c_3 + c_2 + c_1)\ = (m + 6)left| eginarray*20c 1&2&2&2\ 1&m&2&2\ 1&2&m&2\ 1&2&2&m endarray ight| = (m + 6)left| eginarray*20c 1&2&2&2\ 0&m - 2&0&0\ 0&0&m - 2&0\ 0&0&0&m - 2 endarray ight|eginarray*20c - d1 + d_2\ - d_1 + d_3\ - d_1 + d_4 endarray = (m - 2)^3(m + 6). endarray$
Nếu $det (A) e 0Leftrightarrow m otin left 2,-6 ight\Rightarrow r(A)=4;$Nếu $m=2Rightarrow r(A)=1;$Nếu $m=-6Rightarrow r(A)=3$ (bạn đọc tự kiểm tra).Ví dụ 12: Tìm $m$ để ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2&m&m + 1\ 2&m + 2&2m + 1&2m + 4\ 1&4 - m&m - 1&2m - 4 endarray ight)$ gồm hạng bởi 2.
Ví dụ 13: Tìm số thực $a$ nhằm ma trận $A = left( eginarray*20c 2&2 - a&4&a^2\ 1&1 - a&2&0\ 3&3 - 2a&8 - a&4 endarray ight)$ gồm hạng bé nhỏ nhất.
Ví dụ 14. Tìm $m$ nhằm hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 3&m&0&3\ m&2&1&2\ 2&1& - 2&2 endarray ight)$ lớn nhất.
3. Hạng của ma trận phụ hợp
Định lí. Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n,nge 2$ và $A^*$ là ma trận phụ thích hợp của $A,$ khi đó ta có:
$r(A)=nLeftrightarrow r(A^*)=n;$$r(A)=n-1Leftrightarrow r(A^*)=1;$$r(A)le n-2Leftrightarrow r(A^*)=0.$Chứng minh xem bài xích giảng tại đây:https://magmareport.net/khoa-hoc/xem/khoa-pro-s1-mon-toan-cao-cap-1-dai-so-tuyen-tinh-kh836547837.html
4. Dạng toán minh chứng về hạng của ma trận
Ta sử dụng các đặc thù về hạng của ma trận sau đây:
$r(A)=r(A");$$r(A+B)le r(A)+r(B)$ cùng với $A,B$ là nhị ma trận cùng cấp;$r(AB)le r(A);r(AB)le r(B)$ cùng với $A,B$ là nhị ma trận bất kì làm sao để cho $AB$ tồn tại;$r(A)+r(B)le r(AB)+n$ với $A,B$ là nhị ma trận vuông cùng cấp.Ví dụ 1: Cho ma trận $A$ vuông cấp $n$ tán đồng $A^2=E.$ chứng minh rằng $r(E+A)+r(E-A)=n.$
Giải. Áp dụng bất đẳng thức về hạng của ma trện có:
$eginarrayl r(E - A) + r(E + A) ge r(E - A + E + A) = r(2E) = n\ r(E - A) + r(E + A) le r((E - A)(E + A)) + n = r(E^2 - A^2) + n = r(O) + n = n endarray$
Vậy $r(E+A)+r(E-A)=n.$
Ví dụ 2: Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n$ bao gồm $a_ij=0,forall i=j;a_ijin left 1,2019 ight,forall i e j.$ chứng minh rằng $r(A)ge n-1.$
Giải. Xét $B=(b_ij)_n imes n,b_ij=1,forall i,j=1,2,..,n$ lúc đó $C=A-B=(a_ij-b_ij)_n imes n=(c_ij)_n imes n$ cùng với
Do kia $det (C)-(-1)^n$ chia hết đến 2018, tức $det (C) e 0Rightarrow r(C)=n.$
Mặt khác $C=A-BRightarrow r(C)=r(A-B)le r(A)+r(-B)=r(A)+1Rightarrow r(A)ge n-1.$
Ví dụ 3: Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n$ tất cả $a_ij=i+j,forall i,j=1,2,...,n.$ tìm kiếm hạng của ma trận $A.$
Giải. Xét $B=(b_ij)_n imes n,b_ij=i,forall i=1,2,...,n;C=(c_ij)_n imes n,c_ij=j,forall j=1,2,...,n.$
Ta có $r(B)=r(C)=1$ cùng $A=B+CRightarrow r(A)=r(B+C)le r(B)+r(C)=2.$
Mặt khác $D_12^12 = left| eginarray*20c 2&3\ 3&4 endarray ight| = - 1 e 0 Rightarrow r(A) ge 2.$ Vậy $r(A)=2.$
Hiện tại magmareport.net thiết kế 2 khoá học Toán thời thượng 1 cùng Toán cao cấp 2 giành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đh khối ngành kinh tế tài chính của tất cả các trường:
Khoá học cung ứng đầy đủ kỹ năng và phương thức giải bài bác tập những dạng toán đi kèm theo mỗi bài xích học. Hệ thống bài tập tập luyện dạng từ luận bao gồm lời giải chi tiết tại website để giúp học viên học cấp tốc và vận dụng chắc chắn rằng kiến thức. Mục tiêu của khoá học giúp học viên lấy điểm A thi cuối kì các học phần Toán cao cấp 1 cùng Toán thời thượng 2 trong các trường kinh tế.
Xem thêm: Tải Đề Thi Trạng Nguyên Tiếng Việt Lớp 2 Các Vòng Năm 2021, Trạng Nguyên
Sinh viên những trường ĐH sau đây hoàn toàn có thể học được combo này:
- ĐH kinh tế tài chính Quốc Dân
- ĐH ngoại Thương
- ĐH thương Mại
- học viện chuyên nghành Tài Chính
- học viện ngân hàng
- ĐH kinh tế tài chính ĐH quốc gia Hà Nội
và các trường đại học, ngành tài chính của những trường ĐH không giống trên mọi cả nước...