Số phức và các dạng toán về số phức là trong số những nội dung mà nhiều các bạn cảm thấy chúng kha khá trừu tượng cùng khá cạnh tranh hiểu, một trong những phần nguyên nhân là họ đã quá quen cùng với số thực một trong những năm học tập trước.

Bạn đang xem: Bài tập số phức 12


Vì vậy, ở bài viết này magmareport.net sẽ hệ thống lại những dạng toán về số phức bên cạnh đó hướng dẫn bí quyết giải các dạng bài xích tập này. Trước khi bắt tay vào giải các dạng bài bác tập số phức, chúng ta cũng bắt buộc nhớ những nội dung về lý thuyết số phức.

I. định hướng về Số phức

1. Số phức là gì?

• Định nghĩa số phức

- Tập vừa lòng số phức: 

*

- Số phức (dạng đại số):

 (, a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo i2 = -1)

♦ z là số thực ⇔ phần ảo của z bởi 0 (b = 0).

♦ z là thuần ảo ⇔ phần thực của z bởi 0 (a = 0).

♦ Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

♦ 2 số phức bởi nhau: 

*
, 
*

2. Trình diễn hình học tập của số phức

- Số phức: , () được trình diễn bởi điểm M(a,b) hay bởi 

*
 trong khía cạnh phẳng Oxy (mp phức).
*

3. Phép cộng, trừ số phức

- cho 2 số phức: , khi đó:

♦

*
*

♦

*
*

- Số đối của:  là 

*

- Nếu 

*
 biểu diễn z, 
*
 biểu diễn z" thì 
*
 biểu diễn 
*
 và 
*
 biểu diễn 
*
.

4. Phép nhân 2 số phức

- cho 2 số phức: , lúc đó:

♦

*
 
*

♦

*

5. Số phức liên hợp

- Số phức liên hợp của số phức 

*
 là 
*

♦ 

*
; 
*
; 
*
; 
*
; 
*

♦ z là số thực ⇔

*

♦ z là số thuần ảo: 

*

6. Phép chia số phức không giống 0

♦ 

*

♦ 

*

♦ 

*

7. Mô-đun của số phức

- mang đến số phức: , thì:

♦

*

♦ 

*
; 
*

♦ 

*

♦ 

*

♦ 

*

8. Căn bậc 2 của số phức

♦ 

*
 là căn bậc 2 của số phức 
*
 
*

♦ w = 0 tất cả đúng 1 căn bậc 2 là z = 0

♦ w≠ 0 gồm đúng 2 cặn bậc 2 đối nhau

♦ 2 căn bậc 2 của a > 0 là 

*

♦ 2 căn bậc 2 của a 9. Phương trình bậc 2 của số phức

- đến phương trình bậc 2 số phức tất cả dạng: Az2 + Bz + C = 0, (*) (A,B,C là các số phức mang đến trước, A≠0).

- lúc đó: Δ = B2 - 4AC

- Δ ≠ 0, phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt: 

*

- Δ = 0, phương trình (*) có 1 nghiệm kép: 

*

* Chú ý: Nếu 

*
 là 1 nghiệm của (*) thì 
*
 cũng là một trong những nghiệm của (*).

10. Dạng lượng giác của số phức

• z = r(cosφ + isinφ), r > 0 là dạng lượng giác của  (z≠0).

*

• φ là một trong acgumen của z, φ = (Ox,OM)

• 

*
,
*

11. Nhân phân tách số phức bên dưới dạng lượng giác

- mang lại z = r(cosφ + isinφ) với z" = r"(cosφ" + isinφ")

• 

*

•

*

12. Phương pháp Moivre (Moa-vrơ).

•

*
, 
*

• 

*

13. Căn bậc 2 của số phức dưới dạng lượng giác

• cho z = r(cosφ + isinφ), r > 0 có căn bậc 2 là:

 

*
 và 
*
*

• Mở rộng: z = r(cosφ + isinφ), r > 0 tất cả n căn bậc n là:

 

*
, 
*

II. Những dạng toán về Số phức và biện pháp giải

• Dạng 1: những phép tính về số phức

* cách thức giải: Vận dụng các công thức Cộng, Trừ, Nhân, Chia, Luỹ thừa và tính chất phép toán của số phức.

- Chú ý: Khi giám sát các số thức rất có thể sử dụng hằng đẳng thức như số thực như bình phương của tổng, lập phương của tổng xuất xắc hiệu 2 số phức,...

° Ví dụ 1: mang đến số phức 

*
 Tính những số phức sau: 
*

° Lời giải:

+) Ta có: 

*

 +) Ta có: 

*
 
*

 

*
*

*
 
*

+) Ta có: 1 + z + z2 

*

* Tương tự: Cho số phức 

*
, hãy tính: 1 + z + z2

- Ta có:

*

*
*

° Ví dụ 2: Tính tổng sau:

a) K = 1 + i + i2 + i3 + ... + i2009

b) M = 

*

c) N = (1 - i)100

° Lời giải:

a) Ta có: 1 - i2010 = (1 - i)(1 + i + i2 + i3 +...+ i2009)

 Mà 1 - i2010 = 1 - (i2)1005 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2.

⇒ K = 1 + i + i2 + i3 +...+ i2009 =

*
*

b) M là tổng của 10 số hạng thứ nhất của 1 cấp số nhân với số hạng thứ nhất là u1 = 1, bội q = (1 + i)2 = 2i. Ta có:

 

*
 
*

c)

*
 
*

° Ví dụ 3: cho 2 số phức z1, z2 thoả 

*
,
*
 tính 
*

° Lời giải:

- Đặt 

*

- tự giải thiết ta có: 

*

⇒ 2(a1b1 + a2b2) = 1

⇒ (a1 - a2)2 + (b1 - b2)2 = 1

⇒ |z1 - z2| = 1.

• Dạng 2: Tìm số phức thoả đk cho trước (giải phương trình số phức)

* cách thức giải: Vận dụng các đặc điểm của số phức, các phép thay đổi để giải quyết bài toán.

° lấy một ví dụ 1: search số phức z thoả mãn

a)

b)

° Lời giải:

a) 

 

*
 
*
*

b) 

*
*
 (*)

 mà 

*

 thế x = 1 vào (*) ta được y = ±1.

 Vậy số phức đề nghị tìm là 1 + i cùng 1 - i.

° Ví dụ 2: Tìm số phức z thoả mãn

a)  

b) 

*
, cùng z2 là số thuần ảo.

° Lời giải:

a) 

- Ta có: 

*

+) TH1:

*

+) TH2: 

*

 

*

• Dạng 3: khẳng định phần thực phần ảo, tìm kiếm đối số, nghịch đảo module, phối hợp của số phức và màn trình diễn hình học tập của số phức

* cách thức giải: Dạng này chia thành nhiều loại bài xích toán tương quan tới tính chất của số phức.

♦ một số loại 1: kiếm tìm phần thực phần ảo của số phức

- giải pháp giải: biến đổi số phức về dạng z = a + bi, suy ra phần thực là a, phần ảo là b.

° Ví dụ 1: Tìm phần thực phần ảo của số phức sau:

a) z = i + (2 - 4i) - (3 - 5i)

b) z = (-1 + i)3 - (2i)3

c) 

° Lời giải:

a) z = i + (2 - 4i) - (3 - 5i) = (2 - 3) + (1 - 4 + 5)i = -1 + 2i

⇒ Vậy số phức sẽ cho bao gồm phần thực là -1; phần ảo là 2.

b) z = (-1 + i)3 - (2i)3 = (-1 + i3 + 3i - 3i2) - 8i3 = (-1 - i + 3i + 3) + 8i = 2 + 10i

⇒ Vậy số phức đang cho bao gồm phần thực là 2; phần ảo là 10.

c)  

*
 
*

 

*
 
*

° Ví dụ 2: Tìm phần thực phần ảo của số phức sau:

a) u = z1 - 2z2 với z1 = 1 + 2i; z2 = 2 - 3i

b) v = z1z2 với z1 = 2 + 5i; z2 = 3 - 4i

° Lời giải:

a) u = z1 - 2z2 = (1 + 2i) - 2(2 - 3i) = (1 - 4) + (2 + 6)i = -3 + 8i

⇒ Vậy số phức đã cho tất cả phần thực là -3; phần ảo là 8.

b) v = z1z2 với z1 = 2 + 5i; z2 = 3 - 4i = (2 + 5i)(3 - 4i) = (6 - 8i + 15i - 20i2) = 26 + 7i

⇒ Vậy số phức sẽ cho có phần thực là 26; phần ảo là 7.

♦ các loại 2: màn trình diễn hình học của số phức

- phương pháp giải: thực hiện điểm M(a;b) trình diễn số phức z xung quanh phẳng Oxy

° Ví dụ 1: Trong khía cạnh phẳng toạ độ (hình vẽ dưới), số phức z = 3 - 4i được trình diễn bởi điểm nào trong các điểm A, B, C, D?

*
° Lời giải:

- Đáp án: Điểm D(3;-4) là trình diễn hình học của số phức z=3-4i

° Ví dụ 2: Số phức như thế nào có biểu diễn hình học tập là toạ độ điểm M như hình sau:

*
° Lời giải:

- Điểm M(-2;1) là màn trình diễn hình học tập của số phức z=-2+i

♦ một số loại 3: Tính Module của số phức

- bí quyết giải: biến hóa số phức về dạng z = a + bi ⇒ mô-đun là 

° Ví dụ 1: tìm kiếm mô-đun của số phức sau: 

° Lời giải:

- bao gồm

*
 = 1 - 3i - 3 + i = -2 - 2i

⇒  

*

° Ví dụ 2: Cho số phức z vừa lòng

*
, tìm mô-đun của số phức 
*

° Lời giải:

- Ta có: 

*

 

*

 

*

♦ các loại 4: tra cứu số đối của số phức

- giải pháp giải: biến đổi số phức về dạng z = a + bi ⇒ đối số của z là -z = -a - bi

° Ví dụ: Tìm số đối của số phức sau:

a)

b) 

° Lời giải: 

a) 

*

b) 

*
 
*

♦ một số loại 5: kiếm tìm số phức liên hợp của số phức z

- bí quyết giải: chuyển đổi số phức về dạng z = a + bi ⇒ số phức liên hợp của z là 

*

° Ví dụ 1: Tìm số phức liên hợp của số phức sau: 

*

° Lời giải: 

- Ta có: 

*
 
*

⇒ Số phức phối hợp của z là: 

*

° Ví dụ 2: Cho z = a+ bi tìm số phức liên hợp của z với giải phương trình 

*
.

° Lời giải: 

- Ta có 

*
, 
*

- khi đó: 

*

- Giải hệ này ta được những nghiệm

*

♦ nhiều loại 6: tìm kiếm số phức nghịch đảo của số phức

- biện pháp giải: sử dụng công thức: 

*

° Ví dụ : Tìm nghịch đảo của số phức sau:

a)

b)  

° Lời giải: 

a) 

- Ta có:

*
, 
*

*

b) 

- Ta có:

*
,
*

*

♦ Loại 7: Tìm các số thực khi 2 số phức bằng nhau.

- giải pháp giải: thực hiện công thức: 

*

° Ví dụ : Tìm các số nguyên x với y thế nào cho z = x + yi thỏa mãn nhu cầu z3 = 18 + 26i

° Lời giải: 

- Ta có: 

*

*

- Giải phương trình trên bằng phương pháp đặt y = tx (x≠0) ta được 

*

⇒ z = 3+ i

• Dạng 4: Tìm quỹ tích số phức (tập hợp những điểm) thoả mãn đk cho trước.

* phương thức giải:

♦ nhiều loại 1: Số phức z đồng tình về độ lâu năm (module) lúc đó ta sử dụng công thức 

♦ loại 2: Số phức z là số thực (âm hoặc dương), lúc đó ta áp dụng kết quả

 - Để z là số thực ⇔ b=0

 - Đẻ z là số thực âm ⇔ a 0 cùng b = 0.

 - Để z là số thuần ảo ⇔ a = 0.

° Ví dụ : Tìm tập đúng theo điểm M màn biểu diễn số phức z thoả

a) 

*
 có phần thực = 3

b) 

*
 là số thực

c) 

*

° Lời giải: 

a) Gọi điểm M(x;y) ta có:

 

*

 

*

 Với 

*

- Theo bài ra,

 

*

- với x ≠ 0 cùng y≠ 2 ta có:

*

⇒ Vậy tập vừa lòng điểm M là mặt đường tròn tâm 

*
 bán kính 
*

b) call N là điểm biểu diễn số phức 

*

*
 là số thực ⇔ 
*
 song tuy vậy với Ox

- Vậy quỹ tích của M là mặt đường thẳng qua N và tuy vậy song cùng với Ox, chính là đường trực tiếp y = -3.

c) hotline I là điểm biểu diễn của số phức 

*

- khi đó: 

*

- Vậy quỹ tích của M là đường tròn trọng điểm I(1;-2) bán kính R = 1.

• Dạng 5: Chứng minh các biểu thức về số phức

* phương pháp giải: Vận dụng các phép toán về số phức (cộng, trừ, nhân, chia, số phức liên hợp, mô-đun).

° Ví dụ 1: Cho số phức z thoả điều kiện . Triệu chứng minh 

*

° Lời giải: 

- Ta có:  

*

 hay 

*
(1)

- Đặt z=x+yi, cùng với x,y ∈ R, trường đoản cú (1) ta có:

 

*
 
*

*
 
*

*
*

*
 (đpcm).

° Ví dụ 2: Cho 2 số phức z1 cùng z2 , chứng minh rằng:

a) 

*

b) 

*

° Lời giải: 

a) Ta có:

 

*
 
*

 

*
 
*

⇒ Vậy VT=VP (đpcm).

b) Ta có:

 

*

 

*

 

*

  (1)

- mặt khác:

 

*
 
*

Vì 

*
 nên 
*
(2)

- tự (1) cùng (2) có VT=VP (đpcm)

• Dạng 6: Căn bậc 2 của số phức với phương trình bậc 2

* phương pháp giải:

° Cho số phức: z = a + bi, số phức w = x + yi, được điện thoại tư vấn là căn bậc 2 của số phức z giả dụ w2 = z xuất xắc (x + yi)2 = a + bi.

- lưu giữ ý:

♦ khi b = 0 thì z = a, ta gồm 2 trường hợp đơn giản dễ dàng sạ:

 ◊ TH1: a > 0 ⇒ 

*

 ◊ TH1: a 2 = a + bi, hay x2 - y2 + 2xyi = a + bi 

*
, giải hệ này ta được x,y.

° Phương trình bậc 2 với thông số phức

- Là phương trình tất cả dạng: az2 + bz + c = 0, trong số đó a, b, c là các số phức a≠0

- cách giải: Xét biệt thức 

*
.

 » Nếu Δ=0 phương trình tất cả nghiệp kép: 

*

 » Nếu Δ≠0 phương trình gồm 2 nghiệm phân biệt: 

*

- Định lý Vi-ét: hotline z1, z2 là 2 nghiệm của phương trình az2 + bz + c = 0 lúc đó, ta có: 

*
 
*

° Ví dụ 1: Tìm căn bậc 2 của số phức sau:

a) z = 5

b) z = -7

c)

* Lời giải:

a) 

*

b) 

*

c) Gọi 

*
 là căn bậc 2 của số phức , ta có:

 

*
 
*

 

*
 
*
 
*
 
*

 Vậy hệ pt trên bao gồm 2 nghiệm 

*
.

° Ví dụ 2: Trên tập số phức, search m để phương trình bậc hai: z2 + mz + i = 0 (*) có  với z1, z2 là nghiệm của (*).

* Lời giải:

- hotline m=a+bi cùng với a,b∈R.

- Theo bài bác toán, ta có:  

*

 Theo Vi-ét: z1+z2=-m, z1z2=i nên:

*
.

- Vậy ta bao gồm hệ: 

*

⇒ m=1-i hoặc m=-1+i.

° Ví dụ 3: Giải phương trình sau bên trên tập số phức:

a) z2 - 2z + 17 = 0

b) z2 + (2i+1)z + 1 - 5i = 0

c) 

*

* Lời giải:

a) Ta có: z2 - 2z + 17 = 0 ⇔ z2 - 2z + 1 = -16 ⇔ (z + 1)2 = 16i2 

⇔ (z + 1)2 = (4i)2 nên phương trình gồm 2 nghiệm phức: z1 = -1-4i; z2 = -1+4i

b) Ta có: 

*
 
*
 
*

⇒ phương trình đã cho gồm 2 nghiệm z1=1+i; z2=-2-3i.

• Dạng 7: Phương trình quy về phương trình bậc 2

* cách thức giải: Đặt ẩn phụ và đem lại phương trình bậc 2 tính Δ.

° Ví dụ 1: Giải phương trình phức sau: 

*

* Lời giải:

- thừa nhận thấy, z=0 chưa phải nghiệm của phương trình phải chia 2 vế đến z2, ta được: 

*

*

*

- Đặt 

*
, thi (*) trở thành: 
*

*
 
*

*
 hoặc 
*

- cùng với

*
 
*
 

*
 hoặc
*

- với

*
*

 

*
 hoặc 
*

- Vậy phương trình (*) bao gồm 4 nghiệm: 

*

° Ví dụ 2: Giải các phương trình phức sau:

a) 

*

b) 

*

c) 

*

d) 

*

e) 

*

* Lời giải:

a) Đặt t = z2, lúc ấy pt trở thành: 

 

*

- Với 

*

- Với 

*

b) nhận ra z=0 không hẳn là nghiệm của phương trình cần chia 2 vế pt đến z2 ta được:

 

*

*

*
 (*)

- Đặt 

*
, lúc ấy pt (*) trở thành: 
*
 
*
 hoặc 
*

- Với 

*
 và 
*

- Với 

*
hoặc 
*

c) Đáp án: 

*

d) Đáp án: 

*
; 
*

• Dạng 8: Dạng lượng giác của số phức

* phương pháp giải:

° Công thức De - Moivre: Là công thức nền tảng gốc rễ cho một loạt công thức đặc biệt quan trọng khác như phép luỹ thừa, khai số phận phức, cách làm Euler.

- công thức 1: 

*

- cách làm 2: 

*

- Số phức z=a+bi ta có: 

*

*
,

với 

*
 và góc φ được hotline là argument của z ký kết hiệu là arg(z). Ngược lại với phép luỹ quá ta bao gồm phép khai căn.

° Ví dụ 1: Viết các số phức sau bên dưới dạng lượng giác, từ đó hãy viết dạng đại số của z2012

a) 

*

b) 

*

c) 

*

* Lời giải:

a) Ta có:

 

*
 
*
; 
*

*

- Vậy 

*

*
 
*

- Vậy z2012=-23018

b) Ta có:

 

*
*

*
*
*

c) Ta có:

 

*
 
*
*

*

*

 

*

 

*

° Ví dụ 2: Gọi z1, z2 là nghiệp của phương trình: 

*
, tính cực hiếm của biểu thức: Q=z12012 + z22012

* Lời giải:

- Ta có: 

*

- Lại có: 

*
 và 
*
 
*

⇒ Phương trình vẫn cho có 2 nghiệm: 

*

- mặt khác 

*

*

*

*

° Ví dụ 3: Giải phương trình: 

*

* Lời giải:

- Đặt 

*
 thì 
*

- Phương trình đã đến trở thành: 

*

 

*
 (*)

- vày z=-1 chưa phải là nghiệm của phương trình cần nhân 2 vế (*) với (z+1) ta được:

*
 
*

*

- Nên 

*
 vì z≠-1 nên không sở hữu và nhận giá trị k=3.

- Vậy phương trình đã cho bao gồm nghiệm: 

*
 
*
 
*
 
*
 
*
 
*
 với 
*
.

• Dạng 9: Tìm rất trị của số phức

* cách thức giải: Vận dụng kiến thức tìm rất trị

° ví dụ như 1: Cho số phức z thoả mãn 

*
, tìm số phức z tất cả modul nhỏ dại nhất.

Xem thêm: Đề Thi Tuyển Sinh Lớp 10 Môn Toán Ninh Thuận Năm Học 2021, Đề Toán Tuyển Sinh Lớp 10 Thpt Năm 2019

* Lời giải:

- Đặt 

*
, lúc đó 
*

*
. Vì vậy các điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn việc nằm trên phố tròn trọng tâm I(4;-3) nửa đường kính R=3.

- Vậy |z| đạt giá chỉ trị nhỏ tuổi nhất khi và chỉ khi điểm M∈(C) với gần O nhất. Khi ấy M là giao điểm của (C) và mặt đường thẳng OI, với M là giao điểm gần O rộng và 

*