Bất đẳng thức Bunhiacopxki: công thức, cách chứng minh và bài bác tập vận dụng

Bất đẳng thức Bunhiacopxki là gì ? Bất đẳng thức Bunhiacopxki gồm có công thức gì, hệ trái gì cùng cách minh chứng từng hệ quả ra làm sao cùng các dạng vấn đề thường găp là đầy đủ phần kỹ năng và kiến thức quan trọng, thpt Sóc Trăng sẽ đáp án qua nội dung bài viết sau đây. Bạn tò mò nhé !

I. LÝ THUYẾT CẦN GHI NHỚ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI




Bạn đang xem: Bất đẳng thức bcs

1. Bất đẳng thức Bunhiacopxki là gì?

Bạn đang xem: Bất đẳng thức Bunhiacopxki: công thức, cách chứng tỏ và bài tập vận dụng

Bất đẳng thức Bunhiacopxki có tên gọi chính xác là bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacopxki – Schwarz, đó là một bất đẳng thức do tía nhà toán học chủ quyền phát hiện và đề xuất, nó có khá nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực toán học. Ở nước ta, để cho phù hợp với công tác sách giáo khoa, trong tài liệu này chúng ta cũng sẽ gọi nó là bất đẳng thức Bunhiacopxki, call theo tên bên Toán học fan Nga Bunhiacopxki.


2. Phương pháp của bất đẳng thức Bunhiacopxki

+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản:

*

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 

*

+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki đến 2 cỗ số:

Với hai cỗ số 

*
 và 
*
 ta có:

*

Dấu “=” xảy ra khi còn chỉ khi 

*

Với quy mong nếu một vài nào đó (i = 1, 2, 3, …, n) bởi 0 thì tương ứng bằng 0

*
*

Thì:

  

*

Đạt được khi:

  

*

Hệ trái 2:Nếu:

  

*

Thì:


  

*


đạt được khi:

  

*




Xem thêm: Bbq Viết Tắt Của Từ Gì - Những Điều Bạn Chưa Biết Về Bbq

  

*


Dấu “=” sảy ra khi và chỉ khi:

  

*

3. Các dạng tuyên bố của bất đẳng thức Bunhiacopxki

Bất đẳng thức Bunhiacopxki bao hàm các dạng sau đây:

a. Dạng cơ bản

*
*
*
*

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

*

*

*
 (điều bắt buộc chứng minh)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ còn khi a = b = c

Bài 2: Tìm giá bán trị lớn số 1 của biểu thức 

*

Lời giải:

*

Điều kiện: 

*

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có:

*

*

A max = 2 khi 

*
(thỏa mãn)

Vậy max A = 2 khi còn chỉ khi x = 3

Bài 3: Chứng minh rằng giả dụ a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p. Là nửa chu vi thì 

*

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có:

*

*
(điều yêu cầu chứng minh)

Dấu “=” xẩy ra khi còn chỉ khi 

*
 hay tam giác là tam giác đều

b. Bài rèn luyện thêm

Bài 1: Tìm giá bán trị béo nhất của những biểu thức sau:

a, 

*

b, 

*

Bài 2: Cho a, b, c là những số thực dương tùy ý. Minh chứng rằng:

*

(gợi ý: thay đổi vế trái thành 

*
 rồi áp dung bất đẳng thức Bunhiacopxki)

Bài 3: Cho a, b, c là các số thực dương, . Chứng minh rằng:

*

Bài 4: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn nhu cầu abc = 1. Hội chứng minh:

*

Bài 5: Cho x > 0 với y > 0 thỏa mãn x2 + y2 ≤ x + y. Hội chứng minh:

x + 3y ≤ 2 + 

*