Bạn đang xem: Bất đẳng thức bunyakovsky
Cùng Đọc tài liệu điểm danh những kiến thức và kỹ năng cơ phiên bản đối với BĐT Bunhiacopxki em nhé:
Kiến thức cơ bản
Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng thông thường
1. Dạng bài bác toán áp dụng bất đẳng thức này tương đối thông dụng trong công tác học của những em:(a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)²Chứng minh: (a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)²↔ (ac)² + (ad)² + (bc)² + (bd)² ≥ (ac)² + 2abcd + (bd)²↔ (ad)² + (bc)² ≥ 2abcd ↔ (ad)² - 2abcd + (bc)² ≥ 0 ↔ (ad - bc)² ≥ 0 => luôn đúngDấu " = " xảy ra khi (displaystyle frac ac=frac bd)2. Cùng với a,b,x,y là các số thực, ta có các bất đẳng thức sau:- ((ax + by)^2 le (a^2 + b^2)(x^2 + y^2))Dấu bằng xẩy ra khi (displaystyle frac xa=frac yb)- (dfrac(a+b)^2x+y le dfraca^2x+dfracb^2y)(với x,y > 0, a,b là số thực)3. Với cỗ 3 số a, b, c với x, y, z ta có:- ((ax+by+cz)^2 le (a^2 +b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2))Dấu bằng xảy ra khi (dfracxa= dfracyb= dfraczc)- (dfrac(a+b+c)^2x+y+z le dfraca^2x+dfracb^2y+dfracc^2z)(x,y,z >0, a,b là số thực)
Bất đẳng thức Bunhiacopxki tổng hợp
Dạng 1Cho hai dãy số thực (a_1,a_2,…a_n) cùng (b_1,b_2,…b_n) ta có:((a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n)^2leq (a_1^2+a_2^2…+a_n^2)(b_1^2+b_2^2…+b_n^2))Dấu "=" xẩy ra khi và chỉ còn khi (displaystyle fraca_1b_1=fraca_2b_2=…=fraca_nb_n)với quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử phải bởi 0Đây là cách làm do cha nhà toán học tập độc lập Cauchy – Bunhiacopxki – Schwarz phạt hiện với đề xuất.Chứng minh: Đặt (A=a_1^2+a_2^2+...+a_n^2,B=b_1^2+b_2^2+...+b_n^2,C=a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)=> họ cần phải chứng tỏ được A.B > C²Nếu A = 0 thì (a_1=a_2=…a_n), bất đẳng thức được chứng minh. Cũng vậy nếu B = 0. Cho nên vì vậy ta chỉ việc xét trường vừa lòng A và B khác 0Với mọi x ta có:((a_1x-b_1)^2geq 0Rightarrow a_1^2x^2-2a_1b_1x+b_1^2geq 0 )((a_2x-b_2)^2geq 0Rightarrow a_2^2x^2-2a_2b_2x+b_2^2geq 0 ).........((a_nx-b_n)^2geq 0Rightarrow a_n^2x^2-2a_nb_nx+b_n^2geq 0)
Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên được:((a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)x^2-2(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)x+(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2)geq 0)tức là Ax² - 2Cx + B ≥ 0 (1)Vì (1) đúng với tất cả x buộc phải thay (x=fracCA) vào (1) ta được:(A.fracC^2A^2-2.fracC^2A+Bgeq 0Rightarrow B-fracC^2Ageq 0Rightarrow AB-C^2geq 0Rightarrow ABgeq C^2)Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi(a_1x=b_1,a_2x=b_2,...,a_nx=b_n)tức là (displaystyle fraca_1b_1=fraca_2b_2=…=fraca_nb_n) với quy ước rằng nếu như mẫu bằng 0 thì tử phải bởi 0 => đpcmMột số dạng Bất đẳng thức Bunhiacopxki khác cơ mà em hoàn toàn có thể tham khảo:Dạng 2:(displaystyle sqrtleft( a_1^2+a_2^2+…+a_n^2 ight)left( b_1^2+b_2^2+…+b_n^2 ight)ge left| a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n ight|)Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi (displaystyle fraca_1b_1=fraca_2b_2=…=fraca_nb_n)
Xem thêm: 1 Số Đề Kiểm Tra 1 Tiết Vật Lý 12 Chương 1 2 Có Đáp Án, 1 Số Đề Kiểm Tra Vật Lí 12 Có Đáp Án
Dạng 3:(displaystyle sqrtleft( a_1^2+a_2^2+…+a_n^2 ight)left( b_1^2+b_2^2+…+b_n^2 ight)ge a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n)Dấu "=" xẩy ra khi và chỉ còn khi (displaystyle fraca_1b_1=fraca_2b_2=…=fraca_nb_n ≥ 0)Dạng 4: Cho hai hàng số tùy ý (a_1,a_2,…, a_n) với (x_1,x_2,… , x_n) ta có: với (x_1,x_2,… , x_n)> 0Khi đó ta có:(displaystyle fraca_1^2x_1+fraca_2^2x_2+…+fraca_n^2x_nge fracleft( a_1+a_2+…+a_n ight)^2x_1+x_2+…+x_n)Dấu bằng xẩy ra khi: (displaystyle fraca_1x_1=fraca_2x_2=…=fraca_nx_nge 0)