A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

Bạn đang xem: Bất đẳng thức lớp 10

1. Định nghĩa :

Cho

*
là nhị số thực. Những mệnh đề
*
là mệnh đề chứ phát triển thành thì
*
B""" />là mệnh đề cất biến. Minh chứng bất đẳng thức
*
B" />(với điều kiện nào đó) nghĩa là chứng tỏ mệnh đề đựng biến
*
B""" />đúng với toàn bộ các quý hiếm của biến(thỏa mãn đk đó). Khi nói ta bao gồm bất đẳng thức
*
B" />mà ko nêu điều kiện so với các vươn lên là thì ta hiểu rằng bất đẳng thức kia xảy ra với mọi giá trị của vươn lên là là số thực.

2. đặc điểm :

*

*
b" />và
*
cRightarrow a>c" />

*

*
bLeftrightarrow a+c>b+c" />

*

*
b" />và
*
dRightarrow a+c>b+d" />

* Nếu

*
0" />thì
*
bLeftrightarrow ac>bc" />

Nếu

*
bge 0Rightarrow sqrta>sqrtb" />

*

*

*

*
bge 0Rightarrow a^n>b^n" />

3. Bất đẳng thức về cực hiếm tuyệt đối.

*

*
với rất nhiều số thực
*
.

*

*
0" />).

4. Bất đẳng thức giữa trung bình cùng và mức độ vừa phải nhân (Bất đẳng thức Cauchy)

a) Đối với nhị số không âm

Cho

*
, ta có
*
. Vết ‘=’ xảy ra khi và chỉ còn khi
*
.

Hệ quả:

* hai số dương tất cả tổng không thay đổi thì tích lớn nhất lúc hai số đó bởi nhau

* nhì số dương có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi hai số đó bởi nhau

b) Đối với tía số không âm

Cho

*
, ta có
*
abc" />. Vết ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi
*
.

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG TOÁN 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍCH CHẤT CƠ BẢN.

1. Phương pháp giải.

Để chứng tỏ bất đẳng thức(BĐT)

*
ta rất có thể sử dụng những cách sau:

Ta đi chứng minh

*
. Để chứng minh nó ta thường xuyên sử dụng các hằng đẳng thức để phân tích
*
thành tổng hoặc tích của rất nhiều biểu thức không âm.

Xuất phạt từ BĐT đúng, biến hóa tương đương về BĐT đề xuất chứng minh.

2.Các lấy ví dụ minh họa.

Loại 1:Biến đổi tương tự về bất đẳng thức đúng.

Ví dụ 1:Cho nhị số thực

*
. Chứng minh rằng những bất đẳng thức sau

a)

*
b)
*

c)

*
d)
*

Lời giải:

a) Ta có

*
. Đẳng thức
*
.

b) Bất đẳng thức tương tự với

*

*
(đúng) ĐPCM.

Đẳng thức xảy ra

*

c) BĐT tương đương

*

*
(đúng) ĐPCM.

Đẳng thức xảy ra

*

d) BĐT tương đương

*

*
*
(đúng) ĐPCM.

Đẳng thức xảy ra

*

Nhận xét:Các BĐT trên được vận dụng nhiều, cùng được xem như là “bổ đề” trong minh chứng các bất đẳng thức khác.

Ví dụ 2:Cho năm số thực

*
. Chứng tỏ rằng
*
.

Lời giải:

Ta có:

*

*

*
đpcm.

Đẳng thức xảy ra

*
.

Loại 2:Xuất phát xuất phát từ một BĐT đúng ta biến đổi đến BĐT phải chứng minh

Đối với một số loại này hay cho giải mã không được tự nhiên và ta thường áp dụng khi các biến bao gồm ràng buộc sệt biệt

* chăm chú hai mệnh đề sau thường xuyên dùng

*
Rightarrow left( a-alpha ight)left( a-eta ight)le 0" />
*

*
Rightarrow left( a-alpha ight)left( b-alpha ight)left( c-alpha ight)+left( eta -a ight)left( eta -b ight)left( eta -c ight)ge 0left( ** ight)" />

Ví dụ 7:Cho a,b,c là độ dài tía cạnh tam giác. Minh chứng rằng:

*
cRightarrow ac+bc>c^2" />. Tương tự

*
b^2; ext ca+cb>c^2" />cộng cha BĐT đó lại với nhau ta có đpcm

Nhận xét:*Ở trong vấn đề trên ta đã xuất phát điểm từ BĐT đúng đó là đặc điểm về độ dài cha cạnh của tam giác. Kế tiếp vì cần mở ra bình phương bắt buộc ta nhân nhì vế của BĐT cùng với c.

Ngoài ra nếu xuất phát từ BĐT

*
" />. Chứng minh:
*

Lời giải:

Cách 1:Vì

*
Rightarrow (1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)ge 0" />

*
(*)

Ta có:

*
nên từ (*) ta suy ra

*
đpcm.

Cách 2:BĐT cần chứng tỏ tương đương với

*

Mà

*
" />
*
do đó:

*

Ta chỉ cần chứng minh

*

Thật vậy: vì

*
" />nên theo thừa nhận xét
*
ta có

*
*
*

*
*

Vậy BĐT ban đầu được chứng minh.

DẠNG TOÁN 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY(côsi) ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRI LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT.

1.Phương pháp giải.

Một số chăm chú khi thực hiện bất đẳng thức côsi:

* Khi áp dụng bđt côsi thì những số nên là đông đảo số ko âm

* BĐT côsi thường được vận dụng khi vào BĐT cần minh chứng có tổng và tích

* Điều kiện xẩy ra dấu ‘=’ là những số bởi nhau

* Bất đẳng thức côsi còn có vẻ ngoài khác thường xuất xắc sử dụng

Đối với nhì số:

*
.

Đối với ba số:

*

2.Các lấy một ví dụ minh họa.

Loại 1:Vận dụng trực tiếp bất đẳng thức côsi

Ví dụ 1:Cho

*
là số dương thỏa mãn
*
. Chứng minh rằng

a)

*
b)
*

Lời giải:

a) Áp dụng BĐT côsi ta có

*

Suy ra

*
(1)

Mặt không giống ta có

*
(1)

Từ (1) với (2) suy ra

*
ĐPCM.

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ còn khi

*
.

b) Ta có

*

Áp dụng BĐT côsi ta có

*

và

*
*

Suy ra

*
*

Do đó

*
ĐPCM.

Đẳng thức xảy ra khi còn chỉ khi

*
.

Ví dụ 2:Cho

*
là số dương. Chứng minh rằng

a)

*

b)

*

c)

*
abc ight)}^3}" />

d)

*

Lời giải:

a) Áp dụng BĐT côsi ta có:

*

Suy ra

*
ĐPCM.

Đẳng thức xảy ra khivà chỉ khi

*
.

b) Áp dụng BĐT côsi mang đến hai số dương ta có

*
, tựa như ta có
*

Suy ra

*

Mặt khác, áp dụng BĐT côsi cho bố số dương ta có

*

Suy ra

*
. ĐPCM.

Đẳng thức xẩy ra khivà chỉ khi

*
.

c) Ta có

*
*

Áp dụng BĐT côsi cho ba số dương ta có

*
ab.bc.ca=3left( sqrt<3>abc ight)^2" />và
*
abc" />

Suy ra

*
*
abc ight)}^2}+3sqrt<3>abc+abc=left( 1+sqrt<3>abc ight)^3" />ĐPCM

Đẳng thức xảy ra khivà chỉ khi

*
.

d) Áp dụng BĐT côsi đến hai số dương ta có

*
*

Suy ra

*
*
(1)

Mặt khác theo BĐT côsi cho bố số dương ta có

*
*

*
*

Suy ra

*
(2)

Từ (1) với (2) suy ra

*

Đẳng thức xảy ra khivà chỉ khi

*
.

Loại 2:Kĩ thuật tách, thêm bớt, ghép cặp.

Xem thêm: Hằng Đẳng Thức Lập Phương Của Một Tổng, Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ

Để minh chứng BĐT ta hay phải biến hóa (nhân chia, thêm, bớt một biểu thức) để sinh sản biểu thức hoàn toàn có thể giản cầu được sau thời điểm áp dụng BĐT côsi.Khi chạm mặt BĐT tất cả dạng
*
(hoặc
*
), ta thường xuyên đi chứng minh
*
(hoặc
*
), xây dựng những BĐT tựa như rồi cộng(hoặc nhân) vế cùng với vế ta suy ra điều nên chứng minh.Khi bóc tách và áp dụng BĐT côsi ta nhờ vào việc đảm bảo an toàn dấu bằng xảy ra(thường vệt bằng xảy ra khi những biến bằng nhau hoặc trên biên).

Ví dụ 5:Cho

*
là số dương. Chứng minh rằng: