Định Lý Simson

Định lý Simsơn được phát biểu như sau: chân các đường vuông góc hạ từ một điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp một tam giác xuống 3 cạnh của tam giác đó thuộc một đường thẳng.

Đã có một mở rộng khá thân quen thuộc của định lý này, đó là: các điểm đối xứng của một điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp một tam giác qua 3 cạnh của tam giác đó thuộc một đường thẳng và đường thẳng đó trải qua trực chổ chính giữa của tam giác.

Ký hiệu tam giác đó là ABC, M là 1 điểm trên đường tròn ngoại tiếp. Là các điểm đối xứng của M qua 3 cạnh BC, CA, AB của tam giác. H là trực tâm tam giác. Thế thì thẳng hàng và H thuộc đường thẳng .

 

Bạn đang xem: Định lý simson

24 tranghaha9920550Download
Bạn vẫn xem 20 trang chủng loại của tài liệu "Chuyên đề Một mở rộng của định lý Simsơn", để cài đặt tài liệu cội về máy chúng ta click vào nút DOWNLOAD sinh hoạt trên


Xem thêm: Giải Logarit Và Cách Giải Toán Logarit, Giải Toán 12 Bài 3

Một mở rộng của định lý SimsơnĐịnh lý Simsơn được phát biểu như sau: chân các đường vuông góc hạ từ một điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp một tam giác xuống 3 cạnh của tam giác đó thuộc một đường thẳng.Đã có một mở rộng khá quen thuộc của định lý này, đó là: các điểm đối xứng của một điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp một tam giác qua 3 cạnh của tam giác đó thuộc một đường thẳng và đường thẳng đó trải qua trực trung ương của tam giác.Ký hiệu tam giác đó là ABC, M là 1 điểm trên đường tròn ngoại tiếp. Là các điểm đối xứng của M qua 3 cạnh BC, CA, AB của tam giác. H là trực tâm tam giác. Thế thì thẳng hàng và H thuộc đường thẳng .Có thể thấy rằng sự mở rộng bên trên bao gồm 2 phần: phần mở rộng trực tiếp, đó là sự thẳng hàng được suy ra tức thì từ định lý Simsơn; còn phần thứ nhì hoàn toàn khác biệt, đó là đường thẳng đi qua 3 điểm đối xứng thì trải qua trực vai trung phong tam giác.Sự khác biệt đó khiến ta đặt câu hỏi là tại sao lại nghĩ ra điểm trực trọng tâm tam giác ở đó mà không phải là điểm khác? Trực vai trung phong có quan lại hệ thế nào với điểm bên trên đường tròn ngoại tiếp và rộng nữa là đối với 3 điểm đối xứng thì có gì đặc biệt?Ta thấy rằng trong sự mở rộng đó đã nói đến các điểm đối xứng của M qua 3 cạnh tam giác, vậy thì tại sao ko xét đến các điểm đối xứng của H? Gọi 3 điểm đối xứng tương ứng là . Ta hãy xét đường nối 3 điểm ; vào phạm vi kiến thức của chúng ta thì hãy xét đến đường tròn và đường thẳng. Ta thấy rằng đường tròn chính là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, và dĩ nhiên nó trải qua M.Như vậy thì đường tròn trải qua M và đường thẳng lại trải qua H.Nếu như ta gọi đường tròn trải qua 3 điểm đối xứng của 1 điểm qua 3 cạnh tam giác là đường tròn Simsơn và coi đường thẳng Simsơn là trường hợp suy biến của đường tròn Simsơn thì ta có thể nói rằng đường tròn Simsơn của điểm H đi qua điểm M và đường tròn Simsơn của điểm M trải qua điểm H.Ta hãy mở rộng kết quả trên theo hướng đối với 2 điểm bất kỳ, tức là đặt ra bài toán: mang lại tam giác ABC và 2 điểm M, N. Tìm điều kiện cần và đủ của M và N để đường tròn Simsơn của điểm M đi qua N và ngược lại.Bởi vì bài toán đặt ra với các vị trí bất kỳ của M, N trên mặt phẳng và vấn đề vẫn xét tương quan tới điểm thuộc đường tròn yêu cầu ở phía trên ta sử dụng góc định hướng để giải quyết. Để 1-1 giản xin được cụ dấu bằng dấu = và bỏ ký hiệu (mod ) sau các biến đổi.Gọi các điểm đối xứng của M, N lần lượt qua BC, CA, AB là và X, Y, Z là hình chiếu của M trên 3 cạnh đó tương ứng.Chú ý đến tính đối xứng trục của các đường thẳng qua AC và qua AB thì ta có:suy ra: (*)Biến đổi trên ta không sử dụng điều kiện gì vì thế đẳng thức (*) thu được đúng với mọi cặp điểm M, N.Bây giờ giả sử rằng đường tròn Simsơn của điểm M qua điểm N tức là .Ta thấy rằng= (XY, XM) + (XM, XZ)= (AC, MC) + (MB, AB) (vì các tứ giác XMYC và XMZB nội tiếp)=(AC, AB) + (AB, MC) + (MB, AB)=(AC, AB) + (MB, MC)Vậy nếu thì Tương tự để cho thì ráng vào biểu thức (*) ở bên trên ta sẽ thu được điều kiện sau: (MB, MC) + (NB, NC) = 0Tức là (vì M và đối xứng qua BC)Điều đó có nghĩa là .Nhưng vày vai trò bình đẳng giữa các đường tròn cho nên N cũng phải thuộc 2 đường tròn còn lại. Nhưng lại liệu các đường tròn đó có điểm phổ biến (đồng quy) hay không? hơn nữa N còn nằm bên trên đường tròn (từ giả thiết của ta). Vì thế nếu tồn tại điểm N thì đó là điểm chung của cả 4 đường tròn này.Hãy gọi giao điểm của và là K. Ta có:= (ZY, ZX) + (BC, BM)= (ZY, ZM) + (ZM, ZX) + (BC, BM)= (AC, AM) + (BM, BC) + (BC, BM)= (AC, AM)Từ đó suy ra rằng . Tương tự thì .Như vậy thì 4 đường tròn đồng quy tại K.Trở lại với bài toán chính của chúng ta thì ta thấy điểm N K chính là điểm cần tìm.Chú ý rằng vai trò của điểm M và N là giống hệt cho đề nghị điều kiện trên cũng phải bình đẳng đối với 2 điểm, tức là M cũng là điểm thông thường của các đường tròn .Vậy điều kiện cần sẽ là: M là điểm bình thường của 4 đường tròn của N và N là điểm phổ biến của 4 đường tròn của M (thực ra chỉ việc 1 trong 2 điểm là điểm chung của 4 mặt đường tròn của điểm kia). Điều kiện đủ được suy ra bằng cách biến đổi ngược lại, dựa vào 1 số kết quả trung gian (không phụ thuộc vào vị trí của M và N) thu được ở trên.Để ý là phát biểu trên nói rằng M (hay N) là điểm tầm thường của 4 đường tròn chứ không phải là điểm thông thường duy nhất, tức là có những trường hợp mà các đường tròn trùng nhau, lúc đó sẽ có nhiều cặp điểm thỏa mãn yêu thương cầu đặt ra. Vào trường hợp ko suy biến thì đối với mỗi điểm M chỉ tồn tại duy nhất 1 điểm N thỏa mãn.Bây giờ ta hãy xét 1 trường hợp đặc biệt của kết quả thu được, đó chính là sự mở rộng được nói đến ban đầu của định lý Simsơn. Vào trường hợp này M là trực trung ương H của tam giác. Khi đó các đường tròn trùng với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Do đó với điểm N bất kỳ bên trên (ABC) thì đường thẳng (do đường tròn suy biến thành) sẽ luôn luôn luôn trải qua điểm M là trực trung tâm tam giác.Ta thấy rằng ở bên trên đã xét đến các điểm đối xứng của M, N qua các cạnh của tam giác ABC và các biến đổi của chúng ta đều liên hệ đến đối xứng trục. Một cách tương tự ta sẽ nghĩ đến đối xứng tâm. Và sự “tương tự” khiến ta nghĩ đến việc chọn trung khu đối xứng là các trung điểm D, E, F của các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC.Gọi các điểm đối xứng của M, N qua D, E, F lần lượt là , và .Ta hãy xét bài toán giống như trên, tức là tìm điều kiện để nếu thì .Một cách tương tự ta sẽ dùng biến đổi góc định hướng, với chú ý là bởi đối xứng tâm phải , do đó biểu thức của chúng ra sẽ rất gọn như sau .Lại chú ý thêm rằng các đoạn thẳng song song và bằng nhau; cũng tương tự đối với các đoạn thẳng ; vì thế .Từ đó suy ra nếu tức là thì cũng có giỏi M cũng thuộc .Kết luận ta thu được rộng hơn so với bài toán trước rất nhiều, đó là đối với mỗi điểm M thì tập hợp các điểm N thỏa mãn điều kiện bài toán là toàn bộ đường tròn .Như đã nói ở trên, bởi vì vai trò bình đẳng giữa 2 điểm M, N vì thế từ kết luận này ta có thể suy ra 1 bài toán hệ quả như sau: chứng minh rằng các đường tròn đi qua một điểm cố định lúc N di chuyển trên đường tròn (điểm M).Ta thấy kết luận solo giản hơn bài toán trước nhiều, vì thế ta sẽ cố tìm mang lại nó 1 chứng minh khác cũng đối kháng giản như kết luận của nó vậy. Hãy chú ý đến các trung điểm, nếu ta vị tự vai trung phong M tỉ số ½ thì đường tròn sẽ trở thành đường tròn (DEF) tức đường tròn Ơle của tam giác ABC. Vị đó nếu thì trung điểm của MN sẽ thuộc đường tròn Ơle của tam giác ABC. Kết quả này bình đẳng với M và N cho nên vì thế cũng có thể kết luận được M cũng thuộc .Ta cũng thử xét 1 trường hợp đặc biệt của kết quả này, khi đến M trùng với H, khi đó đường tròn trùng với đường tròn (ABC). Cuối cùng thu được với N bất kỳ trên (ABC).Ở bài toán ban đầu đặt ra, kết quả thu được nhờ vào sự đồng quy của 4 đường tròn. Vậy ở bài toán này điều đó có xảy ra không?Gọi K’ là giao điểm của và . Lúc đó:= (BC, AC) + (MC, BC) (do các đoạn thẳng tuy vậy song)= (MC, AC)Điều đó có nghĩa là . Tương tự .Vậy 4 đường tròn này cũng đồng quy như trên.Đến trên đây hãy để ý là các điểm cùng nằm trên 1 đường tròn (cũng tương tự đến 2 bộ 4 điểm còn lại). Cho nên vì thế trong 4 đường tròn này thì chỉ có thêm một đường tròn là mới. Kết hợp với kết quả của bài toán trước thì ta có tất cả 5 đường tròn đồng quy: .Bây giờ nhìn lại 1 cách tổng quát, ta thấy từ M có hạ các đường vuông góc, rồi lại có các trung điểm, điều đó khiến ta nghĩ đến đường tròn Ơle. Nếu dùng phép vị tự trọng tâm M tỉ số ½ thế thì các đường tròn sẽ trở thành các đường tròn Ơle của các tam giác MBC, MCA, MAB; còn đường tròn trở thành đường tròn Ơle của tam giác ABC. Từ kết luận về tính đồng quy của các đường tròn suy ra là các đường tròn Ơle của các tam giác MBC, MCA, MAB, ABC đồng quy.Do vị trí của M bất kỳ phải ta phát biểu kết quả trên theo 1 cách đối xứng đẹp đẽ hơn: mang lại tứ giác ABCD. Lúc đó các đường tròn Ơle của các tam giác ABC, BCD, CDA, DAB đồng quy.Nếu gọi G là trọng trung ương tứ giác thì qua phép đối xứng chổ chính giữa G thì đường tròn Ơle của tam giác BCD trở thành đường tròn trải qua trung điểm của AB, AC, AD. Tương tự đối với 3 tam giác còn lại thì từ trên sẽ có: các đường tròn trải qua trung điểm các đoạn nối từ 1 đỉnh của tứ giác đến 3 đỉnh còn lại đồng quy.Lại áp dụng ngược kết quả này vào bài toán ban đầu đối với điểm M cầm cố cho điểm D. Dùng phép vị tự ngược lại trung ương M tỉ số 2 thì sẽ suy ra các đường tròn đồng quy.Sự tương tự khiến ta nghĩ đến sự đồng quy của các đường tròn . Điều này có thể chứng minh như sau:Gọi T là giao điểm của (ABC) và . Lúc đó:= (YZ, AC) + (MA, AC) + (CA, CB)= (MZ, MA) + (MA, BC)= (MZ, BC)= (MZ, ZX) + (ZX, BC)suy ra . Tương tự .Lại chú ý thêm rằng tam giác qua phép vị tự trung ương M trở thành tam giác hình chiều của M đối với tam giác ABC. Và đường tròn ngoại tiếp tam giác hình chiếu này cũng trải qua điểm đồng quy của 4 đường tròn Ơle của các tam giác MBC, MCA, MAB, ABC. Vì vai trò của các điểm M, A, B, C bình đẳng yêu cầu nếu đổi vai trò của điểm M mang đến bất cứ điểm nào trong 3 điểm A, B, C ta cũng có kết quả như vậy. Bởi đó, ta phát biểu lại như sau cho cân đối:Cho tứ giác ABCD. Gọi các đường tròn ngoại tiếp các tam giác hình chiếu của 1 điểm đối với tam giác tạo bởi 3 điểm còn lại lần lượt là . Gọi các đường tròn Ơle của các tam giác tạo bởi 3 điểm lần lượt là . Khi đó các đường tròn đồng quy.Kết quả trên có 1 trường hợp đặc biệt. Đó là lúc tứ giác ABCD nội tiếp thì các đường tròn Ơle của các tam giác ABC, BCD, CDA, DAB đồng quy tại 1 điểm E, điểm này được gọi là điểm Ơle của tứ giác ABCD. Với kết quả mở rộng này chúng ta có thể gọi điểm đồng quy là điểm Ơle đối với tứ giác bất kỳ, ko nhất thiết phải nội tiếp.Cuối cùng xin nêu một nhận xét: sự đồng quy của 8 đường tròn nói bên trên thu được là nhờ phép vị tự trung tâm M tỉ số ½, và do N là điểm đồng quy của 4 vào số 8 đườ ... ờng kính. Gọi là giao điểm 2 tiếp đường của tại và . Đường tròn cắt tại .CMR: Giao điểm của đường phân giác và đường thẳng không phụ thuộc vào biện pháp chọn .6) cân tại . Là trọng tâm nội tiếp tam giác.là điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác và phía bên trong tam giác . Đường thằng qua song song với và lần lượt giảm tại với .Đường thằng qua tuy nhiên song cùng với lần lượt giảm và tại và .CMR: giao điểm của và nằm trên phố tròn nước ngoài tiếp tam giác .7) Quadrilateral is inscribed in a circle with center . Point is given inside . Let be the circumcenters of triangles , respectively. Prove, that midpoints of segments are collinear.8) đến tam giác với trung tâm . Lấy thế nào cho đồng quy tại một điểm . Call lần lượt là trung điểm cùng theo thiết bị tự là trung điểm .1. Chứng tỏ rằng đồng quy trên một điểm cơ mà thẳng hàng.2. Chứng thực vị trí hình học của khi(i) là chân ba đường cao của (ii) là chân ba đường phân giác trong của 9) 10) tư đường tròn sắp xếp trong phương diện phẳng làm thế nào cho . Chứng tỏ rằng những điểm A",B",C",D" đồng viên (hoặc thẳng hàng) khi và chỉ khi những điểm đồng viên (hoặc thẳng hàng)11) mang lại tam giac ABC nội tiếp (O).Gọi (E) là đường tròn Euler tam giác ABC.MM" là đường kính của (O).Các mặt đường đối rất của M,M; cùng với (E) giảm nhau nghỉ ngơi S.Chứng tỏ S nằm trên tuyến đường thẳng vuông góc cùng với OH(H là trực vai trung phong ABC).12)cho tam giác ABC gồm . Đường tròn nội tiếp tam giác gồm tâm với tiếp xúc với những cạnh theo lần lượt tại và .Các mặt đường thẳng lần lượt cắt đường trực tiếp tại và . CMR: 13) Tam giác ABC nội tiếp con đường tròn (O), D là 1 trong điểm bất cứ trên BC của tam giác. Các đường tròn cùng tiếp xúc cùng với (O), thuộc tiếp xúc cùng với đoạn DA với thoe máy tự tiếp xúc với các đoạn DB, DC. Chứng minh đi qua vai trung phong đường tròn nội tiếp tam giác ABC14) Trong phương diện phẳng P cho một tam giác đầy đủ ABC. điện thoại tư vấn A",B",C" theo đồ vật tự là các hình chiếu trên các đường trực tiếp BC,CA,AB của một điểm M bất cứ trên phương diện phẳng với G là trọng tâm của . Chứng tỏ rằng ánh xạ từ một phép biến chuyển hình của phương diện phẳng15) mang đến nội tiếp trong mặt đường tròn . Với từng , cam kết hiệu để dẫn đường thẳng Simpson của điểm đối với tam giác . Xét đường kính biến đổi của . Tìm quỹ tích giao điểm của và 16) mang lại tam giác ABC. Những đường cao AH, BK. Các đường phân giác AE, BF. điện thoại tư vấn O, I thứu tự là trung ương đường tròn nội tiêp ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng H,I,K thẳng sản phẩm khi còn chỉ khi E,O,F thẳng hàng.PHEP NGHICH DAO(17,18,19)17) mang lại , , nội tiếp . ở trong tia đối tia . 1 mặt đường tròn tiếp xúc , tiếp xúc xung quanh và tiếp xúc trên . CMR: 18) đến đường tròn tâm . Dựng hai đường tròn tiếp xúc kế bên nhau tại và tiếp xúc trong . Tiếp tiếp chung ngoại trừ của và cắt ở cùng . Tiếp tuyến bình thường trong của chúng giảm tại ; và cùng phía so với . Minh chứng là chổ chính giữa nội tiếp 19)Cho cùng tiếp xúc vào với nhau tại trên phố tròn ta mang một điểm bất kỳ và kẻ từ tới những tiếp tuyến.Gọi là giao điểm của các tiếp con đường vớiTìm quỹ tích trung tâm nội tiếp tam giác 20) Cho hai tuyến phố tròn không cân nhau và xúc tiếp nhau trên .Các điểm khớp ứng chạy trên sao cho .Đường tròn nằm trong tam giác ,tiếp xúc ngoài với 2 đường tròn với tiếp xúc với tại . CMR: điều khiển xe trên 1 con đường tròn nắm định.21) mang đến điểm sống trong tứ giác lồi. Hotline theo máy tự là hình chiếu của trên những đường trực tiếp . Xác định các tứ giác làm sao để cho theo thú trường đoản cú là hình chiếu của trên các đường thẳng với .1. Chứng tỏ rằng những tứ giác đồng dạng.2. Vào tứ giác đầu tiên, mọi tứ giác nào dồngdangj cùng với tứ giác (Chú ý. ~ gồm một phép đồng dạng thay đổi tứ giác này thành tứ giác kia.)22) Đường tròn nội tiếp của tam giác xúc tiếp với tại theo máy tự đó. Gọi tương xứng là trung điểm của những cạnh với theo đồ vật tự đối xứng cùng với qua con đường phân giác (trong) của các góc . Minh chứng rằng những đường trực tiếp đồng quy trên một điểm trên đường tròn .23) cho tam giác nội tiếp đường tròn . Hotline là trọng tâm đường tròn Ơ-le, rước điểm thỏa mãn . Trả sử rằng trung trực giảm tại , những điểm được xác định tương tự. Minh chứng rằng thuộc nằm bên trên một đường thẳng vuông góc cùng với .24) mang đến tam giác hồ hết nội tiếp trong con đường tròn . Một con đường kính biến hóa của cắt những đường thẳng trên theo sản phẩm tự đó. Cmr đường thẳng Ơle của những tam giác giới hạn nên một tam giác đều.25) mang đến đường tròn . Chứng minh rằng tứ giác là điều hòa khi và chỉ khi vĩnh cửu bốn hình trụ thỏa mãn:1) xúc tiếp 2) tiếp xúc tại 3) xúc tiếp với 26) Đường tròn nội tiếp của tam giác xúc tiếp với tại . Là điểm bất kỳ trong khía cạnh phẳng của tam giác. Call là hình chiếu của theo lắp thêm tự trên các đường thẳng . Chứng minh rằng đường tròn trải qua trọng tâm những tam giác có đường kính bằng 27)Cho điểm M ở đi ngoài đường tròn (O). Kẻ bố đường thẳng làm thế nào để cho nằm giữa cùng (A nằm trong lòng M28) Hãy che định hoặc xác định mệnh đề " nếu ABCDEF là lục giác lồi có toàn bộ các cạnh đều nhau thì AD, BE, CF đồng quy29) cho tứ giác nội tiếp con đường tròn cùng là điểm bất kỳ trong mặt phẳng. Hotline theo trang bị tự là tâm những đường tròn .CMR trung điểm của trực tiếp hàng30) mang lại tam giác và những đừong tròn thế nào cho tiếp xúc cùng với ;tiếp xúc với và tiếp xúc với ;tiếp xúc với cùng tiếp xúc với ;tiếp xúc với với tiếp xúc cùng với .Chứng minh rằng 31) Trong mặt phẳng đến hai tam giác . Lấy các điểm làm thế nào cho . Call . Chứng tỏ rằng đồng quy.32) cho tứ giác lồi . đem đối xứng cùng với qua con đường thẳng , đối xứng cùng với qua đường thẳng với đối xứng với qua con đường thẳng . Hiểu được . Cmr tứ giác nội tiếp.33) đến tam giác nhọn, trực trọng điểm ngoại tiếp con đường tròn tất cả . điện thoại tư vấn theo thứ tự là trung điểm , . Call là tâm đường tròn nước ngoài tiếp tam giác . Cmr thẳng mặt hàng 34) Trong khía cạnh phẳng, qua điểm O mang đến trước, kẻ 2005 đường thẳng phân biệt bất cứ . Bên trên mỗi đường thẳng lấy một điểm khác O. Chứng tỏ rằng hoàn toàn có thể chọn các điểm thế nào cho 35) 1/Xác định đường thẳng phân tách đôi chu vi và ăn mặc tích tứ giác?_________________________________PDatK40SP: bạn nối 2 cạnh đối lấy một ví dụ và cắt nhau trên đỉnh chẳng hạn thì call cát tuyến giảm tại thì và trọn vẹn xác định các bạn ạ. 2/Xác định tứ giác gồm cả mặt đường tròn ngoại tiếp với nội tiếp ?36) trường hợp là các điểm nằm trong cạnh của làm thế nào để cho thì ___________PDatK40SP: bạn cũng có thể lấy phân giác kẻ từ bỏ đỉnh của và từ việc và thông thường nhau con đường phân giác đó; chúng ta dùng cách làm tính khoảng cách đường phân giác để sở hữu phương trình bạn ạ.37) mang lại và là trọng tâm đường tròn nước ngoài tiếp và tâm đường tròn nội tiếp của không đều. Tiếp xúc trên .và cắt nhau tại , và cắt nhau tại .là trung điểm đoạn .CMR: .38) Cho gọi là tâm hình vuông vắn nội tiếp tam giác tất cả 2 đỉnh bên trên ,một đỉnh bên trên ,một đỉnh trên .xác định tương tự.Chứng minh: đồng quy39) cho nội tiếp với điểm phía trong tam giác. Các tia lần lượt giảm tại . Kiếm tìm tập đúng theo điểm nhằm có:+ diện tích cho trước.+ Chu vi cho trước.Hệ quả: Tìm các điểm để và các điểm nhằm 40) mang đến tam giác ABC r là bán kính đường tròn nội tiếp Rlaf bán kính ngoại CMR : >2r41) cho tam giác a) chứng tỏ rằng các đường trung tuyến chia tam giác ra thành sáu tam giác con có những tâm con đường tròn ngoại tiếp của chúng nằm bên trên một đường tròn.b) Hãy tìm tất cả các điểm trong mặt phẳng tam giác sao cho các đường và phân chia tam giác ra thành sáu tam giác con, thế nào cho tâm những đường tròn ngoại tiếp của bọn chúng nằm trên một con đường tròn.42) mang đến tam giác tất cả . Hotline là trung điểm . Trả sử . Tính độ lớn những góc của tam giác 43) điểm JEBAREK..Cho tam giác .Gọi là trực vai trung phong và tâm ngoại tiếp ABC.Gọi là chân đường cao hạ tự A,B,C xuống tía cạnh tương ứng. 1) các đường trực tiếp Euler của đồng qui tại điểm gọi là vấn đề Jebarek cua tam giác ABC.(Jebarek point)Tìm tọa độ cực của J so với . 2) nằm trong (Đường tròn Euler ) của . 3)Các đường tròn Euler của các tam giác đồng qui nghỉ ngơi J.Nói bí quyết khác 4 mặt đường tròn bao gồm điểm chung. 4)Gọi là trong lòng ABC.Ba mặt đường tròn bao gồm điểm chung. 5)Với là trung điẻm .Hai đường thảng SimSon của J đối với tam giác và song song.44)tiep xucCho tam giác nội tiếp . Đường tròn (") tiếp xúc trong với tại , tiếp xúc với ngơi nghỉ .Nhận xét 1: mang đến tam giác . Là đường tròn bàng tiếp góc . Ngoài đoạn lấy làm sao cho , . CMR: tứ giác và nội tiếp.Chứng minh: gọi S,P,Q là các tiếp điểm của với BC,CA,AB. Bởi vì và là phân giác góc , từ sẽ là phân giác góc và theo đặc thù đối xứng thì suy ra cùng suy ra:Suy ra nội tiếp. Tương tự như nội tiếp.Nghịch đảo trái lại với trung ương phương tích bất kể ta có bài toán quen thuộc:Hệ trái 1:Cho tam giác nội tiếp . Đường tròn xúc tiếp trong với tại . Tiếp xúc với sống .Khi đó trung tâm nội tiếp tam giác (điểm ) vị trí .Gọi là phân giác ko kể với ở trong ta gồm vuông góc với suy ra : nhưng suy ra đồng viên bởi đó:Hệ trái 2:Phân giác của đi qua Trước phía trên hệ trái 2 thường dùng để chứng minh hệ trái 1 và nên dùng đến cách thức trùng không đẹp và gọn. Chứng tỏ trên rõ ràng tự nhiên và dễ dàng nắm bắt hơn nhiều.Gọi là trung điểm cung không đựng Áp dụng 2 hệ quả trên cho cắt ở . Cắt ở , ta gồm tam giác đồng dạng với tam giác suy ra suy ra mà lại dẫn cho vuông góc cùng với suy ra thuộc mặt đường tròn cơ mà cũng trực thuộc từ đó trùng với (do tam giác ABC không cân).Hệ quả 3:cắt làm việc , khi ấy . Điều này dẫn đến câu hỏi sau:Hệ quả 4:Cho tam giác nội tiếp . Đường tròn xúc tiếp trong với trên . Xúc tiếp với . Tựa như có . Đường tròn nội tiếp xúc tiếp với sống .CMR: .Hoàn toàn tựa như ta có hệ trái sau:Hệ quả 5: mang đến tam giác nội tiếp . Là mặt đường tròn bàng tiếp góc . Cắt ở (khác ). Xúc tiếp với sinh sống . CMR: khi và chỉ còn khi .Chọn điểm S là tâm nghịch đảo ta đã thu được hình vẽ sau:, giảm nhau tại A cùng S . PQ là tiếp tuyến tầm thường ngoài, đường thẳng qua A tuy nhiên song cùng với P,Q cắt ở B, ngơi nghỉ C. T là vấn đề đối xứng cùng với A qua trung điểm L của PQ.Trước hết hay thấy ===Mặt khác, từ kia suy ra rằng tam giác PBT đồng dạng cùng với QTC.Từ đó ((STP),(STB))=((STQ),(STC)).Hệ trái 6:Cho AS cắt PQ sống T. CMR: tự hệ trái 6 ta chiếm được :Hệ trái 7:SI cắt BC nghỉ ngơi W. CMR: TW là phân giác chứng minh:==suy ra: .=(*)Ta lại có:..=1(**)Từ (*) với (**) suy ra: == suy ra (K,W,B,C)=-1 suy ra TW là phân giác .1) TWTK và TW//AI2) AW,BQ