(h.1.7).Với ba điểm M,N và p tuỳ ý ta luôn luôn có :
+
=
(quy tắc cha điểm) Tứ giác ABCD là hình bình hành, ta bao gồm (h. 1.8) :
+
=
(quy tắc hình bình hành).
2. Định nghĩa vectơ đối
Vectơ
là vectơ đối của vectơ
nếu như |
| = |
| với
,
) là nhị vectơ ngược hướng. Kí hiệu
= –
.Nếu
là vectơ đối của
thì
là vectơ đối của
tuyệt -(-
) =
Mỗi vectơ đều có vectơ đối. Vectơ đối của
là
Vectơ đối của
là
.
3. Định nghĩa hiệu của nhị vectơ và quy tắc tìm hiệu
–
=
+ (-
) ;Ta gồm :
–
=
vói tía điểm O, A, B bất cứ (quy tắc trừ).
4. đặc điểm của phép cộng những vectơ
Với ba vectơ
,
,
bất kỳ ta có
+
=
+
. (tính chất giao hoán);(
+
) +
=
+ (
+
) (tính chất kết hợp);
+
=
+
=
(tính chất của vectơ – không);
+ (-
) = –
+
=
B. DẠNG TOÁN CƠ BẢN
Vấn đề 1
Tìm tổng của nhì vectơ và tổng của khá nhiều vectơ
1. Phương pháp
Dùng đinh nghĩa tổng của nhị vectơ, quy tắc bố điểm, nguyên tắc hình bình hành với các đặc điểm của tổng các vectơ.
2. Những ví dụ
Ví dụ 1. mang đến hình bình hành ABCD. Nhì điểm M và N thứu tự là trung điểm của BC cùng AD.
a) search tổng của nhị vectơ
cùng
;
và
;
và
,
b) minh chứng
+
=
+
.
Giải
a) Vì
=
ta có
+
=
+
Vì
=
, ta có
+
=
+
=
+
=
Vì
=
, ta gồm
+
=
+
=
, với E là đỉnh của hình bình hành AMED.
b) do tứ giác AMCN là hình bình hành yêu cầu ta có
+
=
Vì tứ giác ABCD là hình bình hành bắt buộc
+
=
Vậy
+
=
+
.
Ví dụ 2. cho lục giác hầu hết ABCDEF trung tâm O.
Chứng minh
+
+
+
+
+
=
.
GIẢI
Tâm O của lục giác phần đa là vai trung phong đối xứng của lục giác (h.1.10).
Ta bao gồm
+
=
,
+
=
,
+
=
Do đó:
+
+
+
+
+
= (
+
) + (
+
) + (
+
) =
.
Ví dụ 3. Mang đến
,
là các vectơ khác
cùng
≠
. Minh chứng các xác định sau :
a) nếu như
và
thuộc phương thì
+
thuộc phương với
;
b) ví như
với
thuộc hướng thì
+
thuộc hướng với
GIẢI
Giả sử
=
,
=
,
+
=
.
a) giả dụ
với
thuộc phương thì bố điểm A, B, c thuộc thuộc một đường thẳng. Nhị vectơ
+
=
cùng
=
tất cả cùng giá, vậy bọn chúng cùng phương.
b) trường hợp
và
thuộc hướng, thì ba điểm A, B, C thuộc thuộc một con đường thẳng và B, C ở về một bên của Vậy
+
=
với
=
thuộc hướng.
Ví dụ 4. Mang lại ngũ giác các ABCDE trọng tâm O.
a) chứng minh rằng nhị vectơ
+
và
+
đề cùng phương với
.
b) chứng tỏ hai vectơ
và
cùng phương.
GIẢI
a) hotline d là đường thẳng chứa OD thì d là 1 trong trục đối xứng của ngũ giác đều. Ta có
+
=
, trong các số ấy M là đỉnh của hình thoi OAMB và thuộc d. Cũng giống như vậy,
+
=
, trong những số ấy N ở trong d. Vậy
+
và
+
đông đảo cùng với
vì chúng có chung quý hiếm d.
b)
và
cùng vuông góc cùng với d phải AB // EC, suy ra
thuộc phương
.
Vấn đề 2
Tìm vectơ đối với hiệu nhị vectơ
1. Phương pháp
Theo định nghĩa, để tìm hiệu
–
, ta làm cho hai cách sau:
– tra cứu vectơ đối của
;
– Tính tổng
+ (-
).Vận dụng quy tác
–
=
với tía điểm O, A, B bất kì.
2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Chứng minh -(
+
) = –
+ (-
).
Giải
a) giả sử
=
,
=
. Vày đó
+
=
+
=
=
.
b) nếu như I là trung điểm của đoạn AB thì IA = IB cùng hai vectơ
,
ngược hướng. Vậy
= –
.
Ngược lại. Nếu
= –
thì IA = IB với hai vectơ
,
ngược hướng. Vì thế A, I, B trực tiếp hàng. Vậy I là trung điểm của đoạn AB.
Ví dụ 3. cho tam giác ABC. Các điểm M, N và p lần lượt là trung điểm của AB, AC và BC.
a) tìm hiệu
–
,
–
,
–
,
–
.
b) Phân tích
theo hai vectơ
cùng
.
Giải
(Xem hình h.1.12)
a)
–
=
;
–
=
–
=
(vì
=
);
–
=
+
=
(Vì –
=
);
–
=
+
=
(Vì –
=
b)
=
=
–
.
Vấn đề 3.
Tính độ dài của
+
,
–
1. Phương pháp
Đầu tiên tính
+
=
,
–
=
. Tiếp nối tính độ dài những đoạn thẳng AB với CD bằng phương pháp gắn nó vào những đa giác nhưng ta có thể tính được độ dài những cạnh của chính nó hoặc bởi các cách thức tính trực tiếp khác.
2. Những ví dụ
Ví dụ 1. Cho hình thoi ABCD bao gồm
= 60° cùng cạnh là a. Gọi o là giao điểm hai đường chéo. Tính |
+
|, |
–
|, |
+
.
GIẢI
Vì tứ giác ABCD là hình thoi cạnh a và
= 60° bắt buộc AC = a
, BD = a (h.1.13).
Ta có:
+
=
nên
|
+
| = AC = a
;
–
=
đề nghị |
–
| = CA =
;
–
=
–
=
(vì
=
).
Ví dụ 2. chứng tỏ các khẳng định sau:
a) giả dụ
với
cùng hướng thì |
+
| = |
| + |
|.
b) ví như
với
ngược hướng cùng |
| ≥ |
| thì |
+
| = |
| – |
|.
c) |
+
| ≤ |
| +|
|. Khi nào xảy ra lốt đẳng thức ?
Giải
Giả sử
=
,
=
thì
+
=
.
a) Nếu
và
thuộc hướng thì bố điểm A, B, C cùng thuộc một đường thẳng và B nằm trong lòng A cùng C. Cho nên vì vậy AB + BC = AC (h.1.14).
Vậy |
+
| = AC = BC – AB = |
| – |
|.
b) Nếu
và
ngược hướng và |
| ≥ |
| thì cha điểm A, B, C thuộc một mặt đường thẳng và A nằm trong lòng B với C. Vì thế AC = BC – AB (h.1.15)
Vậy |
+
| = AC = BC – AB = |
– |
|.
c) từ các minh chứng trên suy ra rằng nếu
và
thuộc phường thì |
+
| = |
| + |
| hoặc |
+
|
Xét trường hợp
và
không cùng phương. Lúc đó A, B, C ko thẳng hàng.
Trong tam gác ABC ta tất cả hệ thức AC
Vậy trong các trường đúng theo ta phần đa có |
+
| ≤ |
| + |
|
Đẳng thức xảy ra khi
và
thuộc hướng.
Ví dụ 3. Cho hình vuông vắn ABCD cạnh a gồm O là giao điểm của hai tuyến phố chéo.
