Với biện pháp giải những dạng toán về số lượng giới hạn của hàm số môn Toán lớp 11 Đại số và Giải tích gồm phương pháp giải chi tiết, bài bác tập minh họa có giải mã và bài tập từ bỏ luyện để giúp đỡ học sinh biết phương pháp làm bài tập các dạng toán về số lượng giới hạn của hàm số lớp 11. Mời chúng ta đón xem:


Giới hạn của hàm số và giải pháp giải bài xích tập - Toán lớp 11

1. Lý thuyết

a) số lượng giới hạn của hàm số trên một điểm:

* giới hạn hữu hạn: Cho khoảng chừng K cất điểm x0 . Ta nói rằng hàm số f(x) xác định trên K (có thể trừ điểm x0) có giới hạn là L khi x dần dần tới x0 nếu như với dãy số (xn) bất kì, xn∈Kx0và xn→x0, ta có: f(xn)→L

Kí hiệu:limx→x0f(x)=L giỏi f(x)→Lkhi x→x0.

Bạn đang xem: Giải bài tập giới hạn của hàm số

Nhận xét: ví như f(x) là hàm số sơ cấp xác minh tại x0 thì limx→x0fx=fx0.

* số lượng giới hạn ra vô cực:

Hàm số y = f(x) có giới hạn dần tới dương vô cực khi x dần tới x0 nếu với đa số dãy số (xn):xn→x0thì f(xn)→+∞.

Kí hiệu: .

Hàm số y = f(x) có giới hạn dần cho tới âm vô cực khi x dần tới x0 nếu với tất cả dãy số (xn):xn→x0thì f(xn)→−∞.

Kí hiệu: limx→x0f(x)=−∞.

b) số lượng giới hạn của hàm số tại vô cực

* số lượng giới hạn ra hữu hạn:

- Ta nói hàm số y = f(x) xác định trên (a;+∞)có số lượng giới hạn là L lúc x→+∞nếu với đa số dãy số (xn):xn>avà xn→+∞thì f(xn)→L.

Kí hiệu: limx→+∞f(x)=L.

- Ta nói hàm số y = f(x) xác minh trên (−∞;b)có giới hạn là L lúc x→−∞nếu với đa số dãy số (xn):xnbvà xn→−∞thì f(xn)→L.

Kí hiệu: limx→−∞f(x)=L.

* số lượng giới hạn ra vô cực:

- Ta nói hàm số y = f(x) xác minh trên (a;+∞)có số lượng giới hạn dần cho tới dương khôn cùng (hoặc âm vô cùng) khi x→+∞nếu với tất cả dãy số (xn):xn>avà xn→+∞thì f(xn)→+∞(hoặc f(xn)→−∞).

Kí hiệu: limx→+∞f(x)=+∞(hoặc limx→+∞f(x)=-∞).

- Ta nói hàm số y = f(x) xác định trên (−∞;b)có giới hạn là dần dần tới dương khôn xiết (hoặc âm vô cùng) khi x→−∞nếu với đa số dãy số (xn):xnbvà xn→−∞thì f(xn)→+∞. (hoặc f(xn)→−∞).

Kí hiệu: limx→-∞f(x)=+∞(hoặc limx→-∞f(x)=−∞).

c) Các số lượng giới hạn đặc biệt:

*

d) Một vài định lý về số lượng giới hạn hữu hạn

*

Chú ý:

- những định lý về giới hạn hữu hạn của hàm số vẫn đúng lúc thay x→x0bởi x→+∞ hoặc x→-∞.

- Định lí trên ta chỉ áp dụng cho hồ hết hàm số có giới hạn là hữu hạn. Ta ko áp dụng cho các giới hạn dần về vô cực.

* Nguyên lí kẹp

Cho tía hàm số f(x), g(x), h(x) xác minh trên K cất điểm x0 (có thể những hàm đó không xác định tại x0). Trường hợp g(x)≤f(x)≤h(x)  ∀x∈Klimx→x0g(x)=limx→x0h(x)=Lthì .

e) quy tắc về giới hạn vô cực

Quy tắc tìm số lượng giới hạn của tích f(x)g(x)

*

Quy tắc tìm số lượng giới hạn của thươngf(x)g(x)

f) giới hạn một bên

* số lượng giới hạn hữu hạn

- Định nghĩa 1: mang sử hàm số f xác minh trên khoảng tầm x0;b,x0∈ℝ. Ta nói rằng hàm số f có số lượng giới hạn bên phải là số thực L lúc dần cho x0 (hoặc tại điểm x0) nếu với tất cả dãy số bất kể (xn) mọi số thuộc khoảng (x0; b) nhưng mà lim xn = x0 ta đều phải sở hữu lim f(xn) = L.

Khi kia ta viết: limx→x0+fx=Lhoặc fx→Lkhi x→x0+.

- Định nghĩa 2: đưa sử hàm số f khẳng định trên khoảng tầm a;x0,x0∈ℝ. Ta nói rằng hàm số có số lượng giới hạn bên trái là số thực L lúc x dần mang lại x0 (hoặc trên điểm x0) nếu với mọi dãy bất cứ (xn) các số thuộc khoảng tầm (a; x0) cơ mà lim xn = x0 ta đều phải sở hữu lim f(xn) = L.

Khi đó ta viết: limx→x0−fx=Lhoặc fx→Lkhi x→x0−.

- dấn xét:

limx→x0fx=L⇔limx→x0−fx=limx→x0+fx=L

Các định lí về giới hạn của hàm số vẫn đúng khi thay x→x0bởi x→x0− hoặc x→x0+.

* giới hạn vô cực

- những định nghĩa limx→x0−fx=+∞, limx→x0−fx=−∞, limx→x0+fx=+∞và limx→x0+fx=−∞được phân phát biểu tương tự như như định nghĩa 1 và có mang 2.

- thừa nhận xét: các định lí về số lượng giới hạn của hàm số vẫn đúng nếu cụ L vì +∞ hoặc-∞

2. Những dạng bài bác tập

Dạng 1: giới hạn tại một điểm

Phương pháp giải:

- giả dụ f(x) là hàm số sơ cấp xác định tại x0 thìlimx→x0fx=fx0

- Áp dụng quy tắc về số lượng giới hạn tới vô cực:

*

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính những giới hạn sau:

*

Lời giải

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

*

Lời giải

Dạng 2: số lượng giới hạn tại vô cực

Phương pháp giải:

- Rút lũy thừa có số mũ lớn nhất

- Áp dụng quy tắc giới hạn tới vô cực

*

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính những giới hạn sau:

a)limx→+∞(7x5+5x2−x+7)

b)limx→−∞4x5−3x3+x+1

Lời giải

*

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

a)limx→+∞x6+5x−1

b)limx→−∞2x2+1+x

Lời giải

*

Dạng 3: Sử dụng nguyên tắc kẹp

Nguyên lí kẹp

Cho cha hàm số f(x), g(x), h(x) xác định trên K chứa điểm x0 (có thể những hàm kia không khẳng định tại x0). Ví như g(x)≤f(x)≤h(x)  ∀x∈Klimx→x0g(x)=limx→x0h(x)=Lthì limx→x0f(x)=L.

Phương pháp giải:

Xét tính bị ngăn của hàm số f(x) vị hai hàm số g(x) và h(x) sao cholimx→x0g(x)=limx→x0h(x)=L

Chú ý tính bị chặn của hàm số lượng giác:

−1≤sinx≤1−1≤cosx≤1

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính số lượng giới hạn của hàm số:

a)limx→0x2cos2nx

b)limx→−∞cos5x2x

Lời giải

*

Ví dụ 2: Tính giới hạn của hàm số:limx→+∞2sinx+cos3xx+1−x

Lời giải

*

Dạng 4: giới hạn dạng vô định00

Nhận biết dạng vô định 00: Tính limx→x0f(x)g(x)trong đó f(x0) = g(x0) = 0.

Phương pháp giải:

Để khử dạng vô định này ta so với f(x) với g(x) sao cho xuất hiện tại nhân tử phổ biến là (x – x0)

Định lí: Nếu đa thức f(x) bao gồm nghiệm x = x0 thì ta có: f(x) = (x – x0)f1(x).

* nếu f(x) với g(x) là những đa thức thì ta so sánh f(x) = (x – x0)f1(x) cùng g(x) = (x – x0)g1(x).

Khi đó limx→x0f(x)g(x)=limx→x0f1(x)g1(x), giả dụ giới hạn này còn có dạng 00thì ta liên tiếp quá trình như trên.

Chú ý: giả dụ tam thức bậc hai ax2 + bx + c gồm hai nghiệm x1; x2 thì ta luôn có sự phân tích: ax2 + bx + c = a(x – x1) (x – x2)

* giả dụ f(x) với g(x) là các hàm đựng căn thức thì ta nhân lượng liên hợp để chuyển về các đa thức, rồi phân tích những đa thức như trên.

Các lượng liên hợp:

*

* ví như f(x) cùng g(x) là những hàm đựng căn thức không ngang hàng ta sử dụng phương thức tách, chẳng hạn:

Nếu u(x)n,v(x)m→c thì ta phân tích:

u(x)n−v(x)m=(u(x)n−c)−(v(x)m−c)

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

a)limx→1x3−3x2+2x2−4x+3

b)limx→22x2−5x+2x3−8

Lời giải

a)limx→1x3−3x2+2x2−4x+3

=limx→1(x−1)(x2−2x−2)(x−1)(x−3)=limx→1x2−2x−2x−3=32

b)limx→22x2−5x+2x3−8

=limx→2(2x−1)(x−2)(x−2)(x2+2x+4)=limx→22x−1x2+2x+4=14

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

*

Lời giải

*

*

Dạng 5: số lượng giới hạn dạng vô định∞∞

Nhận biết dạng vô định∞∞

limx→x0uxvxkhi limx→x0ux=±∞,limx→x0vx=±∞

limx→±∞uxvx khilimx→x0ux=±∞,limx→x0vx=±∞

Phương pháp giải:

- phân chia tử với mẫu cho xn cùng với n là số mũ cao nhất của đổi mới ở mẫu (Hoặc phân tích các thành tích chứa nhân tử xn rồi giản ước).

- Nếu u(x) hoặc v(x) bao gồm chứa biến x trong vết căn thì gửi xk ra phía bên ngoài dấu căn (Với k là mũ cao nhất của biến chuyển x trong dấu căn), tiếp nối chia tử cùng mẫu mang đến lũy thừa tối đa của x.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

*

Lời giải

*

*

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

*

Lời giải

*

*

*

Dạng 6: giới hạn dạng vô định ∞−∞ và0.∞

Phương pháp giải:

- nếu biểu thức chứa biến hóa số dưới dấu căn thì nhân và phân tách với biểu thức liên hợp

- ví như biểu thức đựng được nhiều phân thức thì quy đồng mẫu mã và đưa về cùng một biểu thức

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

*

Lời giải

*

Ví dụ 2: Tính những giới hạn sau:

a)limx→01x−1x2

b)limx→01x1x+1−1

Lời giải

*

Dạng 7: Tính giới hạn một bên

Phương pháp giải:

Sử dụng luật lệ tính giới hạn tới vô cực

*

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

*

Lời giải

*

Ví dụ 2: cho hàm số fx=x2+11−x khi x12x−2 khi x≥1. Tính:

a)limx→1+fx

b) limx→1−fx

Lời giải

a)limx→1+fx=limx→1+2x−2=2.1−2=0

b) limx→1−fx=limx→1−x2+11−x=+∞ vìlimx→1−x2+1=2>0limx→1−1−x=0x→1−⇒x1⇒1−x>0

Dạng 8: search tham số m để hàm số có giới hạn tại 1 điểm mang đến trước

Phương pháp giải:

Sử dụng thừa nhận xét:limx→x0fx=L⇔limx→x0−fx=limx→x0+fx=L

- Tính giới hạnlimx→x0−fx;  limx→x0+fx

- Để hàm số có giới hạn tại x = x0 mang lại trước thì limx→x0−fx= limx→x0+fx. Tra cứu m.

Khi kia với m vừa tìm được, hàm số có số lượng giới hạn tại x = x0 cho trước và giới hạn đó bằngL=limx→x0−fx= limx→x0+fx

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: cho hàm số fx=x2−3x+2x−2      x>2a                       x≤2. Với cái giá trị nào của a thì hàm số đã mang đến có giới hạn tại điểm x = 2?

Lời giải

Ta có

limx→2+fx=limx→2+x2−3x+2x−2=limx→2+x−1x−2x−2=limx→2+x−1=1

limx→2−fx=a.

Để hàm số có số lượng giới hạn tại x = 2 thì limx→2+fx= limx→2−fx.

⇒a=1

Vậy a = 1.

Ví dụ 2: Tìm các giá trị thực của thông số fx=m−3khi x12m−13khi x=11−7x2+2khi x>1để hàm số để tồn trên limx→1fx.

Lời giải

Ta cólimx→1−fx=limx→1−m−3=m−3limx→1+fx=limx→1+1−7x2+2=−2

Để hàm số có số lượng giới hạn tại x = 1 thì limx→1−fx=limx→1+fx.

⇒m−3=−2⇔m=1

Vậy m = 1.

3. Bài tập từ bỏ luyện

Câu 1. Tính limx→1−−3x−1x−1bằng:

A. -1

B. -∞

C.+∞

D. -3

Câu 2. Tính limx→+∞2x2−13−x2bằng:

A. -2

B.13

C.23

D. 2

Câu 3. Tính limx→2x3−8x2−4bằng:

A. 3

B. 1

C. 4

D. 2

Câu 4. Tính limx→−4x2+3x−4x2+4xbằng:

A. -1

B. 54

C. 1

D.-54

Câu 5. Tính limx→1x3−1x−1bằng:

A. 13

B. 1

C. 12

D. 2

Câu 6. Tính limx→0x3+1−1x2+xbằng:

A. 4

B. 3

C. 0

D. 1

Câu 7. Tính limx→−∞4x2−x+1x+1bằng

A. -2

B. 1

C. 2

D. -1

Câu 8. Tính limx→+∞x+5−x−7bằng

A.-∞

B.+∞

C. 0

D. 4

Câu 9. Tính limx→−∞−2x5+x4−33x2−7là:

A. 0

B. +∞

C. -2

D.-∞

Câu 10. Tínhlimx→+∞x2−4x−x

A. -2

B. -∞

C. 0

D.+∞

Câu 11. Cho limx→−∞x2+ax+5+x=5. Quý giá của a là:

A. 6

B. 10

C. -10

D. -6

Câu 12. Kết quả đúng của limx→1x3−1x4−1bằng:

A. 34

B. 4

C. 43

D. 3

Câu 13. Trong những mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. limx→−∞x4−x1−2x=0

B. limx→−∞x4−x1−2x=+∞

C. limx→−∞x4−x1−2x=1

D. limx→−∞x4−x1−2x=−∞

Câu 14. Cho fx=4−x2      −2≤x≤2x2−4x−2                         x>2. Tính limx→−2+fx.

A. 0

B. 4

C.+∞

D.

Xem thêm: 0366 Là Mạng Gì ? Đừng Bỏ Qua Ý Nghĩa Từ Đầu Số Này Nhé Có Thể Bạn Chưa Biết Đầu Số 0366 Là Mạng Gì

ko tồn tại

Câu 15. Tìm những giá trị thực của thông số m nhằm hàm số fx=x+m khi  x0x2+1khi  x≥0 có giới hạn tại x = 0.