Hàm số lũy thừa là những hàm số dạng (y = x^alpha left( alpha in R ight)). Những hàm số lũy thừa gồm tập khẳng định khác nhau, tùy thuộc vào (alpha): 

- nếu (alpha) nguyên dương thì tập các định là (R).

Bạn đang xem: Hàm số lũy thừa tập xác định

- nếu như (alpha ) nguyên âm hoặc (alpha = 0) thì tập những định là (Rackslash left 0 ight\).

- Nếu (alpha ) ko nguyên thì tập các định là (left( 0; + infty ight)).

Chú ý: Hàm số (y = sqrt x ) có tập xác minh là (left< 0; + infty ight)), hàm số (y = sqrt<3>x) có tập xác minh (R), trong những khi đó các hàm (y = x^frac12,y = x^frac13) đều gồm tập xác minh ((0; +∞)). Vày vậy (y = sqrt x ) và (y = x^frac12) ( xuất xắc (y = sqrt<3>x) và (y = x^frac13)) là phần đa hàm số không giống nhau.

2. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ tổng quát 

- Hàm số (y = x^alpha ) có đạo hàm tai mọi (x ∈ (0; +∞)) và (y" = left( x^alpha ight)" = alpha x^alpha - 1)

- giả dụ hàm số (u=u(x)) nhận quý giá dương và gồm đạo hàm trong tầm (J) thì hàm số (y = u^alpha left( x ight)) cũng bao gồm đạo hàm trên (J) và " = alpha u^alpha - 1left( x ight)u"left( x ight)>

3. Đạo hàm của hàm số lũy quá với số mũ nguyên dương

Trong trường hòa hợp số mũ nguyên dương, hàm số lũy thừa (y=x^n) có tập xác minh là (R) và bao gồm đạo hàm trên toàn trục số. Cách làm tính đạo hàm số lũy thừa tổng quát được mở rộng thành (forall x in R,left( x^n ight)" = nx^n - 1) và " = nu^n - 1left( x ight)u"left( x ight)> nếu (u= u(x) ) tất cả đạo hàm trong khoảng (J).


4. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ nguyên âm

Nếu số mũ là số nguyên âm thì hàm số lũy vượt (y=x^n) có tập xác định là (Rackslash left 0 ight\) và có đạo hàm tại hồ hết (x) khác (0), cách làm đạo hàm hàm số lũy thừa bao quát được mở rộng thành (forall x e 0,left( x^n ight)" = nx^n - 1) và " = nu^n - 1left( x ight)u"left( x ight)>

nếu (u= u(x) e 0) có đạo hàm trong vòng (J).

5. Đạo hàm của căn thức

Hàm số (y = sqrtx) có thể coi là mở rộng lớn của hàm lũy quá (y = x^frac1n) (tập xác định của (y = sqrtx) chứa tập khẳng định của (y = x^frac1n) và trên tập xác minh của (y = x^frac1n) thì hai hàm số trùng nhau).

Khi (n) lẻ thì hàm số (y = sqrtx) bao gồm tập khẳng định (R). Trên khoảng chừng ((0; +∞) ) ta có (y = sqrtx = x^frac1n) và (left( x^frac1n ight)" = dfrac1nx^frac1n - 1), vì vậy (left( sqrtx ight)" = dfrac1nsqrtx^n - 1).


Công thức này còn đúng cả cùng với (x 0) tính theo công thức:

< left( sqrtx ight)" =left( sqrtx ight)" = dfrac1nsqrtx^n - 1>

Tóm lại, ta có ( left( sqrtx ight)" =left( sqrtx ight)" = dfrac1nsqrtx^n - 1) đúng với mọi (x) khiến cho hai vế có nghĩa.

Xem thêm: Bài Tập Trắc Nghiệm Toán 12 Chương 1 2 Chọn Lọc, Có Đáp Án, Tổng Hợp Các Bài Tập Trắc Nghiệm Toán 12 Học Kì 1

Sử dụng luật lệ đạo hàm hàm vừa lòng ta suy ra: nếu như (u=u(x)) là hàm bao gồm đạo hàm trên khoảng (J) và thỏa mãn điều khiếu nại (u(x) > 0, ∀x ∈ J) lúc (n) chẵn, (uleft( x ight) e 0,forall x in J) khi (n) lẻ thì

uleft( x ight) ight)" = dfracu"left( x ight)nsqrtu^n - 1left( x ight)>

6. Đồ thị hàm số (y = x^alpha ) trên khoảng ((0; +∞))

*

Chú ý: Khi khảo sát hàm số (y = x^alpha ) với (alpha ) nỗ lực thể, đề xuất xét hàm số trên toàn tập xác minh của nó (chứ chưa phải chỉ xét trên khoảng ((0; +∞)) như trên).