Nội dung bài bác học sẽ giúp đỡ các em nạm được khái niệm, cách xác minh góc thân hai phương diện phẳng, mối tương tác của diện tích đa giác với hình chiếu của nó, các điều khiếu nại để nhị mặt phẳng vuông góc nhau. Dường như là những ví dụ minh họa sẽ giúp các em xuất hiện các tài năng giải bài bác tập liên quan đến khẳng định góc giữa hai khía cạnh phẳng, chứng minh hai khía cạnh phẳng vuông góc,...

Bạn đang xem: Hình học 11 hai mặt phẳng vuông góc


1. Nắm tắt lý thuyết

1.1. Góc thân hai khía cạnh phẳng

1.2. Nhì mặt phẳng vuông góc

1.3. Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương

1.4. Hình chóp những và hình chóp cụt đều

2. Bài tập minh hoạ

3.Luyện tập bài 4 chương 3 hình học tập 11

3.1 Trắc nghiệm vềHai khía cạnh phẳng vuông góc

3.2 bài bác tập SGK và cải thiện vềHai phương diện phẳng vuông góc

4.Hỏi đáp vềbài 4 chương 3 hình học tập 11


a) Định nghĩa

Góc thân hai khía cạnh phẳng là góc giữa hai đường thẳng thứu tự vuông góc với nhị mặt phẳng đó.

Nhận xét:Nếu hai mặt phẳng tuy vậy song hoặc trùng nhauthì ta bảo rằng góc giữa hai phương diện phẳng đó bởi 0o.

b) Cách xác định góc giữa hai phương diện phẳng giảm nhau:

Cho nhì mặt phẳng (P) cùng (Q): ((P) cap left( Q ight) = c)

Lấy I bất kì thuộc c.

Trong (P) qua I kẻ (a ot c).

Trong (Q) qua I kẻ (b ot c).

Khi đó góc giữa hai mặt phẳng (P), (Q) là góc giữa hai tuyến phố thẳng a cùng b.

*

c) diện tích hình chiếu của một đa giác

Với S là diện tích s đa giác nằm trong (P), S’ là diện tích hình chiếu vuông góc của đa giác đó trên (Q),(varphi)là góc thân (P) cùng (Q) ta có:(S"=S.cos varphi).


1.2. Hai mặt phẳng vuông góc


a) Định nghĩa

Hai mặt phẳng được hotline là vuông góc với nhau trường hợp góc thân chúng bằng 90o.

b) các định lýĐịnh lý 1:Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc cùng với một khía cạnh phẳng khác thì nhì mặt phẳng đó vuông góc với nhau.

*

(left{ eginarrayl a ot mp(P)\ a subset mp(Q) endarray ight. Rightarrow mp(Q) ot mp(P))

Hệ quả 1: trường hợp hai khía cạnh phẳng (P) cùng (Q) vuông góc cùng nhau thì bất kể đường trực tiếp a nào bên trong (P), vuông góc với giao tuyến của (P) với (Q) hồ hết vuông góc với khía cạnh phẳng (Q).

*

(left{ eginarrayl (P) ot (Q)\ (P) cap (Q) = d\ a subset (P),a ot d endarray ight. Rightarrow a ot (Q))

Hệ quả 2: trường hợp hai phương diện phẳng (P) và (Q) vuông góc cùng với nhau và A là một trong những điểm vào (P) thì mặt đường thẳng a đi qua điểm A và vuông góc cùng với (Q) sẽ phía trong (P).

*

(left{ eginarrayl (P) ot (Q)\ A in (P)\ A in a\ a ot (Q) endarray ight. Rightarrow a subset (P))

Hệ trái 3:Nếu nhị mặt phẳng cắt nhau và thuộc vuông góc với khía cạnh phẳng thứ cha thì giao tuyến của bọn chúng vuông góc với khía cạnh phẳng thứ ba.

*

(left{ eginarrayl (P) cap (Q) = a\ (P) ot (R)\ (Q) ot (R) endarray ight. Rightarrow a ot (R))


1.3. Hình lăng trụ đứng, hình vỏ hộp chữ nhật, hình lập phương


a) Hình lăng trụ đứng

Định nghĩa: Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có bên cạnh vuông góc cùng với đáy.

Nhận xét: các mặt mặt của hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật với vuông góc với phương diện đáy.

*
*

b) Hình lăng trụ đều

Định nghĩa: Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng tất cả đáy là đa giác đều.

Nhận xét: các mặt mặt của hình lăng trụ hầu như là đông đảo hình chữ nhật cân nhau và vuông góc với phương diện đáy.

*

c) Hình hộp đứng

Định nghĩa: Hình vỏ hộp đứng là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành.

Nhận xét: Trong hình vỏ hộp đứng tứ mặt bên đều là hình chữ nhật.

*

d) Hình vỏ hộp chữ nhật

Định nghĩa: Hình hộp chữ nhật là hình vỏ hộp đứng bao gồm đáy là hình chữ nhật.

Nhận xét: Tất cả 6 mặt của hình hộp chữ nhật đa số là hình chữ nhật.

e) Hình lập phương

Định nghĩa: Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau.

*


1.4. Hình chóp các và hình chóp cụt đều


a) Hình chóp đều

Định nghĩa: Một hình chóp được call là hình chóp mọi nếu đáy của nó là đa giác hầu như và các cạnh bên bằng nhau.

*

Nhận xét:

+ Đường vuông góc với mặt dưới kẻ trường đoản cú đỉnh hotline là đường cao của hình chóp.

+ Một hình chóp là hình chóp đều đáy của nó là nhiều giác gần như và chân đường cao của hình chóp trùng với trung khu của đáy.

+ Một hình chóp là hình chóp hồ hết đáy của nó là đa giác đầy đủ và các kề bên tạo voéi dưới mặt đáy các góc bằng nhau.

b) Hình chóp cụt

Định nghĩa: Khi giảm hình chóp đa số bởi 1 mặt phẳng song song với đáy để được một hình chóp cụt thì hình chóp cụt đó được gọi là hình chóp cụt đều.

*

Nhận xét:

Hai đáy của hình chóp cụt gần như là 2 đa giác hầu hết đồng dạng với nhau.Đoạn nối trung tâm 2 đáy được gọi là mặt đường cao của hình chóp cụt đều.Trong hình chóp cụt đều các mặt mặt là phần đa hình thang cân bằng nhau.

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Tính số đo của góc thân (BA’C) với (DA’C).

Hướng dẫn giải:

*

Kẻ(BH ot A"C, m (H in mA"C))(1).

Mặt khác:(BD ot AC m (gt))

(AA" ot (ABCD) Rightarrow AA" ot BD m )

(Rightarrow BD ot (ACA") Rightarrow BD ot A"C)(2)

Từ (1) (2) suy ra:

(A"C ot (BDH) Rightarrow A"C ot DH)

Do đó:((widehat (BA"C),(DA"C)) = (widehat HB,HD))

Xét tam giác BCA" ta có:

(frac1BH^2 = frac1BC^2 + frac1BA"^2 = frac32a^2 Rightarrow bh = a.sqrt frac23 Rightarrow DH = a.sqrt frac23)

Ta có:

(cos widehat BHD = frac2BH^2 - BD^22BH^2 = - frac12 Rightarrow widehat BHD = 120^0>90^0)

Vậy: (widehat ((BA"C),(DA"C)) =180^0-120^0= 60^0.)

Ví dụ 2:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác cân nặng AB=AC=a, (widehat BAC = 120^0), BB’=a, I là trung điểm của CC’. Tính cosin của góc giữa hai mp(ABC) và (AB’I).

Hướng dẫn giải:

*

Ta thấy tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác AB’I lên mặt phẳng (ABC).

Gọi φ là góc thân hai khía cạnh phẳng (ABC) với (AB’I).

Theo công thức hình chiếu ta có: (cos varphi = fracS_ABCS_AB"I).

Ta có:

(S_ABC = frac12.AB.AC.sin 120^0 = fraca^2sqrt 3 4)

(AI = sqrt AC^2 + CI^2 = fracasqrt 5 2)

(AB" = sqrt AB^2 + BB"^2 = asqrt 2)

(IB" = sqrt B"C"^2 + IC"^2 = fracasqrt 13 2.)

Suy ra: Tam giác AB’I vuông trên A nên(S_AB"I = frac12.AB".AI = fraca^2sqrt 10 4).

Vậy:(cos varphi = fracS_ABCS_AB"I = sqrt frac310 .)

Ví dụ 3:

Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi, SA=SC. Chứng minh rằng: ((SBD) ot (ABCD).)

Hướng dẫn giải:

*

Ta có: (AC ot BD)(1) (giả thiết).

Mặt khác, (SO ot AC)(2) (SAC là tam giác cân nặng tại A với O là trung điểm của AC bắt buộc SO là con đường cao của tam giác).

Từ (1) và (2) suy ra: (AC ot (SBD))mà (AC subset (ABCD))nên((SBD) ot (ABCD).)

Ví dụ 4:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, (AD = asqrt 2), (SA ot (ABCD)). Hotline M là trung điểm của AD, I là giao điểm của AC với BM. Chứng tỏ rằng:((SAC) ot (SMB).)

Lời giải:

*

Ta có: (SA ot (ABCD) Rightarrow SA ot BM m (1)).

Xét tam giác vuông ABM có: ( an widehat AMB = fracABAM = sqrt 2).

Xét tam giác vuông ACD có: ( an widehat CAD = fracCDAD = frac1sqrt 2 ).

Xem thêm: Đề Thi Vào Lớp Chọn Khối 6 Môn Toán Năm 2021, Đề Thi Vào Lớp Chọn Lớp 6

Ta có:

(eginarrayl cot widehat AIM = cot (180^0 - (widehat AMB + widehat CAD))\ = cot (widehat AMB + widehat CAD) = 0 Rightarrow widehat AIM = 90^0 endarray)

Hay (BM ot AC m (2)).

+ trường đoản cú (1) với (2) suy ra: (BM ot (SAC))mà (BM subset (SAC))nên ((SAC) ot (SMB).)