KHỐI HỘP

Bài viết trình diễn công thức tính thể tích khối vỏ hộp và một số ví dụ minh họa có giải mã chi tiết.

Bạn đang xem: Khối hộp

Đang xem: Khối hộp là gì

A. KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNGHình hộp: là hình lăng trụ tứ giác gồm đáy là hình bình hành.Hình hộp bao gồm $6$ phương diện là hình bình hành, $4$ đường chéo đồng qui tại trung khu hình hộp.Thể tích của khối hộp bởi tích số của diện tích mặt dưới và độ cao của khối vỏ hộp đó.

Hình vỏ hộp chữ nhật: là hình vỏ hộp đứng và có đáy là hình chữ nhật.Gọi $a$, $b$, $c$ là $3$ form size thì gồm đường chéo: $d = sqrt a^2 + b^2 + c^2 $, diện tích toàn phần: $S = 2(ab + bc + ca)$ với thể tích khối vỏ hộp chữ nhật: $V = abc.$Hình lập phương: là hình vỏ hộp chữ nhật gồm $3$ form size bằng nhau.Gọi $a$ là cạnh hình lập phương thì bao gồm đường chéo: $d = asqrt 3 $, diện tích toàn phần: $S = 6a^2$ và thể tích khối lập phương: $V = a^3.$

B. MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNGBài toán 1: Tính thể tích của khối vỏ hộp $ABCD.A’B’C’D’$, hiểu được $AA’B’D’$ là khối tứ diện các cạnh $a.$

Vì $AA’B’D’$ là tứ diện đều nên đường cao $AH$ của nó tất cả hình chiếu $H$ là trọng tâm của tam giác phần đa $A’B’D’.$Suy ra: $A’H = fracasqrt 3 3$, $AH = sqrt AA‘^2 – A”H^2 = fracasqrt 6 3.$Ta tất cả đáy $A’B’C’D’$ là hình thoi gồm góc $B’A’D’$ bằng $60°$ nên:$S_A’B’C’D’ = A’B’.A’D’sin 60^0 = fraca^2sqrt 3 2.$Vậy thể tích khối vỏ hộp đã đến là: $V = S.h = fraca^2sqrt 3 2 cdot fracasqrt 6 3 = fraca^3sqrt 2 2.$

Bài toán 2: cho khối vỏ hộp $ABCD.A_1B_1C_1D_1$ có tất cả các cạnh cân nhau và bởi $a$, $widehat A_1AB = widehat BAD = widehat A_1AD = alpha $ $left( {0^0 Tam giác $A_1BD$ cân (do $A_1B = A_1D$).Suy ra $BD ot A_1O.$Mặt không giống $BD ot AC.$Suy ra: $BD ot left( A_1AOight)$ $ Rightarrow BD ot A_1H.$Do đó $A_1H ot (ABCD).$Đặt $widehat A_1AD = varphi .$Hạ $A_1K ot AD$ $ Rightarrow HK ot AK$.Ta có: $cos varphi .cos fracalpha 2 = fracAHAA_1 cdot fracAKAH = fracAKAA_1$ $ = cos varphi $ phải $cos varphi = fraccos alpha cos fracalpha 2.$Do đó: $A_1H = asin varphi $ $ = asqrt 1 – fraccos ^2alpha cos ^2fracalpha 2 $ $ = fracacos fracalpha 2sqrt cos ^2fracalpha 2 – cos ^2alpha .$$V_ABCD.A_1B_1C_1D_1 = AB.AD.sin alpha .A_1H$ $ = a^2sin alpha .fracacos fracalpha 2sqrt cos ^2fracalpha 2 – cos ^2alpha $ $ = 2a^3sin fracalpha 2sqrt cos ^2fracalpha 2 – cos ^2alpha .$

Bài toán 3: cho khối hộp $ABCD.A’B’C’D’$ tất cả đáy là hình chữ nhật với $AB = sqrt 3 $, $AD = sqrt 7 $ với các cạnh bên bằng $1.$ hai mặt bên $(ABB’A’)$ với $(ADD’A’)$ lần lượt chế tác với đáy mọi góc $45°$ với $60°.$ Hãy tính thể tích khối hộp.

Xem thêm: Xuất Xứ Văn Bản Ôn Dịch Thuốc Lá, Ôn Dịch, Thuốc Lá

Hạ $A’H ot (ABCD)$, $HM ot AD$, $HK ot AB.$Ta có: $AD ot A’M$, $AB ot A’K.$$ Rightarrow widehat A’MH = 60^0$, $widehat A’KH = 45^0.$Đặt $A’H = x.$Khi đó:$A’M = x:sin 60^0 = frac2xsqrt 3 .$$AM = sqrt AA‘^2 – A”M^2 $ $ = sqrt frac3 – 4x^23 = HK.$Mà $HK = xcot 45^0 = x$ phải $x = sqrt frac3 – 4x^23 Rightarrow x = sqrt frac37 .$Vậy $V_ABCD.A’B’C’D’ = AD.AB.x = sqrt 7 .sqrt 3 .sqrt frac37 = 3.$

Bài toán 4: cho khối lăng trụ tứ giác phần đông $ABCD.A_1B_1C_1D_1$ có khoảng cách giữa hai tuyến phố thẳng $AB$ cùng $A_1D$ bằng $2$ cùng độ nhiều năm đường chéo của phương diện bên bởi $5.$a) Hạ $AK ot A_1D$ $left( K in A_1Dight).$ chứng tỏ rằng: $AK = 2.$b) Tính thể tích khối lăng trụ $ABCD.A_1B_1C_1D_1.$

a) $AB//A_1B_1$ $ Rightarrow AB//left( A_1B_1Dight).$$ Rightarrow dleft( A,left( A_1B_1Dight)ight) = dleft( AB,A_1Dight).$Ta có: $A_1B_1 ot left( AA_1D_1Dight)$ $ Rightarrow A_1B_1 ot AK.$Mặt khác: $A_1D ot AK$ $ Rightarrow AK ot left( A_1B_1Dight).$Vậy $AK = dleft( A,left( A_1B_1Dight)ight) = dleft( AB,A_1Dight) = 2.$b) Xét tam giác vuông $A_1AD$, ta có: $AK^2 = A_1K.KD.$Đặt $A_1K = x Rightarrow 4 = x(5 – x)$ $ Rightarrow x^2 – 5x + 4 = 0$ $ Rightarrow x = 1$ hoặc $x = 4.$Với $x = 1$, $AD = sqrt AK^2 + KD^2 = 2sqrt 5 $, $AA_1 = sqrt A_1D^2 – AD^2 = sqrt 5 .$Khi đó $V_ABCD.A_1B_1C_1D_1 = 20sqrt 5 .$Với $x = 4$, tương tự như ta có: $V_ABCD.A_1B_1C_1D_1 = 10sqrt 5 .$

Bài toán 5: mang lại hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có tất cả các cạnh đều bằng $d$ và tía góc của đỉnh $A$ đều bởi $60°.$a) Tính độ dài những đường chéo cánh và thể tích $V$ của hình hộp.b) Tính khoảng cách giữa hai mặt tuy nhiên song của hình hộp.c) rất có thể cắt hình hộp bằng một khía cạnh phẳng sao để cho thiết diện nhấn được là một hình vuông?

a) Đặt $overrightarrow AA’ = vec a$, $overrightarrow AB = vec b$, $overrightarrow AD = vec c$ thì $vec a.vec b = vec b.vec c = vec c.vec a = fracd^22.$Ta có: $overrightarrow AC‘^2 = (vec a + vec b + vec c)^2$ $ = vec a^2 + vec b^2 + vec c^2 + 2vec a.vec b + 2vec b.vec c + 2vec c.vec a = 6d^2.$Suy ra: $AC’ = dsqrt 6 .$Ta có: $overrightarrow BD’ ^2 = (overrightarrow a – overrightarrow b + overrightarrow c )^2$ $ = vec a^2 + vec b^2 + vec c^2 – 2vec a.vec b – 2vec b.vec c + 2vec c.vec a = 2d^2.$Suy ra: $BD’ = dsqrt 2 .$Tương tự $DB’ = CA’ = dsqrt 2 $ đề xuất ta gồm $AA’BD$ là hình tứ diện phần đa cạnh $d$, nên: $V_left( AA’BDight) = fracd^3sqrt 2 12.$Do kia $V = 6V_AA’BD = fracd^3sqrt 2 12.$b) hotline $h$ là khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(ABCD)$ và $(A’B’C’D’)$ thì:$V = S_ABCD.h = fracd^2sqrt 3 2$ $ Rightarrow h = fracdsqrt 6 2.$Tương từ thì các khoảng cách giữa nhị mặt tuy vậy song nào thì cũng bằng $fracdsqrt 6 2.$c) Hình bình hành $BCD’A’$ có các cạnh bằng $d$ và hai đường chéo cánh bằng $dsqrt 2 $ vì thế nó là hình vuông.Vậy hình hộp tất cả thiết diện $BCD’A’$ là hình vuông.Tương tự thiết diện $CDA’B’$ cũng chính là hình vuông.

Bài toán 6: mang lại hình lăng trụ $ABCD.A’B’C’D’$ tất cả đáy là hình vuông vắn cạnh bởi $asqrt 3 $, $A$ giải pháp đều $A$, $B$, $C$, $D.$ Biết rằng khoảng cách từ trọng tâm $G$ của tam giác $AB’D’$ đến mặt phẳng $(AA’D’)$ bởi $fraca2.$ Tính thể tích khối lăng trụ đã mang lại và khoảng cách từ trung khu $O$ của hình vuông $A’B’C’D’$ đến mặt phẳng $(ADC’B’).$

Vì $G$ là trung tâm của tam giác $AB’D’$ phải $G$ nằm trên đoạn trực tiếp $AO$ cùng $AG = frac23AO.$Ta có: $dleft( O;left( AA’Dight)ight) = frac32d(G,(AA’D)) = frac3a4.$Gọi $M$ là trung điểm của $A’D’.$Hạ $OH ot AM$ thì $OH ot left( AA’D’ight).$Do kia $OH = dleft( O;left( AA’D’ight)ight) = frac3a4.$Tam giác $AOM$ vuông trên $O:$$frac1OH^2 = frac1OA^2 + frac1OM^2$ $ Leftrightarrow frac169a^2 = frac1OA^2 + frac43a^2$ $ Rightarrow OA = frac3a2.$Vậy $V_ABCD.A’B’C’D’ = S_ABCD.OA = 3a^2.frac3a2 = frac9a^32.$Gọi $N$ là trung điểm của $B’C’.$ Hạ $OK ot AN.$Ta có $OK ot left( ADC’B’ight)$ phải $OK = dleft( O,left( ADC’B’ight)ight).$Tam giác $AON$ vuông trên $O:$$frac1OK^2 = frac1OA^2 + frac1ON^2$ $ = frac49a^2 + frac43a^2 = frac169a^2$ $ Rightarrow OK = frac3a4.$Vậy khoảng cách từ chổ chính giữa $O$ của hình vuông vắn $A’B’C’D’$ đến mặt phẳng $(ADC’B’)$ là $OK = frac3a4.$

Bài toán 7: mang đến hình vỏ hộp $ABCD.A’B’C’D’$ tất cả đáy là hình chữ nhật. $AB = asqrt 3 $, $AA’ = AC = 2asqrt 3 .$ Hình chiếu của $B$ lên khía cạnh phẳng $(A’B’C’D’)$ là trung điểm $O$ của $B’D’.$ Tính thể tích khối hộp $ABCD.A’B’C’D’$ cùng cosin của góc giữa hai tuyến đường thẳng $AC$ và $BB’.$

Ta bao gồm $O$ là vai trung phong của hình chữ nhật $A’B’C’D’$ yêu cầu $BO ot left( A’B’C’D’ight).$Tam giác vuông $ABC:$$BC = sqrt AC^2 – AB^2 $ $ = sqrt 12a^2 – 3a^2 = 3a.$Tam giác vuông $BOB’$ ta có:$BO = sqrt BB‘^2 – B”O^2 $ $ = sqrt BB‘^2 – fracAC^24 $ $ = sqrt 12a^2 – 3a^2 = 3a.$Nên $V_ABCD.A’B’C’D’ = S_ABCD.BO = AB.BC.BO$ $ = asqrt 3 .3a.3a = 9a^3sqrt 3 .$Ta có $cos left( AC,BB’ight) = cos left( A’C’,AA’ight) = left| cos widehat AA’Oight|.$Vì $BO ot (ABCD) Rightarrow BO ot AB.$Tam giác $ABO$ vuông cân tại $B:$ $AO = sqrt AB^2 + BO^2 $ $ = sqrt 3a^2 + 9a^2 = 2asqrt 3 .$Áp dụng định lý cosin trong tam giác $AA’O$ ta có:$cos widehat AA’O = fracA”A^2 + A”O^2 – AO^22A’A.A’O$ $ = frac12a^2 + 3a^2 – 12a^22.2asqrt 3 .asqrt 3 = frac14.$Vậy $cos left( AC,BB’ight) = frac14.$

Bài toán 8: mang lại hình vỏ hộp đứng $ABCD.A’B’C’D’$ gồm đáy là hình bình hành, $AB = 2a$, $BC = a$, $widehat BAD = 60^0$, góc giữa đường thẳng $B’C$ cùng mặt phẳng $(ACC’A’)$ bằng $30°.$ Tính thể tích khối vỏ hộp $ABCD.A’B’C’D’$ và khoảng cách giữa hai tuyến đường thẳng $AM$, $DD’$ cùng với $M$ là trung điểm của $CC’.$

Hạ $BH ot A’C’$ thì gồm $BH ot left( ACC’A’ight).$Từ đó suy ra góc thân $B’C$ cùng mặt phẳng $left( ACC’A’ight)$ bởi $widehat B’CH.$Áp dụng định lý côsin vào tam giác $ABC$ ta có:$AC^2 = BC^2 + BA^2 – 2.BC.BAcos 120^0$ $ = a^2 + 4a^2 – 2a.2aleft( – frac12ight) = 7a^2.$Suy ra $AC = asqrt 7 .$Ta có: $B’H = frac2S_A’B’C’A’C’ = fracB’A’.B’C’.sin 120^0A’C’$ $ = fraca.2a.fracsqrt 3 2asqrt 7 = fracasqrt 21 7.$Tam giác vuông $B’CH:$ $B’C = fracB’Hsin 30^0 = frac2asqrt 21 7.$Tam giác vuông $BB’C:$ $BB’ = sqrt B”C^2 – BC^2 $ $ = sqrt frac84a^249 – a^2 = fracasqrt 35 7.$Nên: $V_ABCD.A’B’C’D’ = AB.ADsin 60^0.AA’$ $ = 2a.a.fracsqrt 3 2.fracasqrt 35 7 = fraca^3.sqrt 105 7.$Ta có $AM$ song song cùng với $(ACC’A’).$Do đó $dleft( DD’,AMight)$ $ = dleft( DD’,left( ACC’A’ight)ight)$ $ = dleft( D’,left( ACC’A’ight)ight)$ $ = dleft( B’,left( ACC’A’ight)ight)$ $ = B’H = fracasqrt 21 7.$