Bạn đang xem: Menelaus định lý
Chúng ta phát biểu nhị định lý.Định lý Ceva: mang đến tam giác $ABC$ và cha điểm $A"$, $B"$, $C"$ theo lần lượt nằm trên bố đường thẳng $BC$, $CA$, $AB$. Vậy thì bố đường trực tiếp $AA"$, $BB"$, $CC"$ đồng quy khi và chỉ còn khi $$fracvecA"BvecA"C imes fracvecB"CvecB"A imes fracvecC"AvecC"B = -1.$$Định lý Menelaus: đến tam giác $ABC$ và tía điểm $A"$, $B"$, $C"$ lần lượt nằm trên cha đường trực tiếp $BC$, $CA$, $AB$. Vậy thì cha điểm $A"$, $B"$, $C"$ thẳng hàng khi còn chỉ khi $$fracvecA"BvecA"C imes fracvecB"CvecB"A imes fracvecC"AvecC"B = 1.$$
Tỷ lệ bao gồm dấuTrước hết, chúng ta giải yêu thích về cam kết hiệu mà chúng ta đã dùng trong nhì định lý. Cam kết hiệu $fracvecA"BvecA"C$ được gọi là tỷ lệ có dấu. Họ nhìn hình vẽ bên dưới đây. Trong hình vẽ này bọn họ thấy rằng tỷ lệ thông thường là $fracUXUY = 2$, tuy nhiên, xác suất có vết lại là $fracvecUXvecUY = -2$. Đó là do $vecUX$ với $vecUY$ được bố trí theo hướng ngược nhau.
Tỷ lệ thông thường thì lúc nào cũng là số dương. Nhưng xác suất có dấu, có thể là số âm, cũng có thể là số dương. Xác suất có vết $fracvecUXvecUY$ là số dương giả dụ $vecUX$ với $vecUY$ tất cả cùng hướng, và là số âm ví như $vecUX$ với $vecUY$ tất cả ngược hướng.Vì sao bọn họ cần phần trăm có dấu? Đó là vì xác suất thông hay không thể dùng làm xác định được một điểm duy nhất trên phố thẳng. Trong những khi đó tỷ lệ có vết lại có ưu thế này.Chúng ta lấy ví dụ. đưa sử trên tuyến đường thẳng $XY$, họ cần xác minh điểm $Z$ sao cho $fracZXZY = 2$.
Nhìn hình vẽ trên đây, trường hợp dùng tỷ lệ thông thường, thì chúng ta có thể tìm được nhị điểm thoã mãn, đó là $U$ và $V$ chính vì $$fracUXUY = fracVXVY = 2.$$Nếu họ dùng phần trăm có dấu, thì chỉ bao gồm duy nhất một điểm $V$ thoã mãn $fracvecVXvecVY = 2$.Điểm $U$ sẽ không thoã mãn cũng chính vì $fracvecUXvecUY = -2 eq 2$. Diện tích s có dấuTương từ bỏ như xác suất có dấu, bạn có thể định nghĩa diện tích s có dấu. Diện tích thông thường thì bao giờ cũng là số dương, nhưng diện tích s có dấu có thể là số âm, cũng có thể là số dương, phụ thuộc vào chiều quay của các đỉnh.Trong khía cạnh phẳng, nếu chúng ta vẽ một hệ trục tọa độ $0xy$ thì đa số điểm $A$ trong khía cạnh phẳng sẽ có toạ độ $(A_x, A_y)$. Chúng ta định nghĩa $$
Ở hình mẫu vẽ trên, chúng ta có tọa độ của các điểm là $A(-5,2)$, $B(-3,7)$, $C(3,2)$. Các bạn cũng có thể tính được $$
Định lý này tương đối là phân minh nếu họ chỉ suy xét tỷ lệ thường thì (không có dấu). Đó là do nếu bọn họ kẻ những đường cao $UU"$ cùng $VV"$ đi ra đường thẳng $AB$ thì $$fracs(ABU)s(ABV) = fracAB imes UU" / 2AB imes VV" /2 = fracUU"VV" = fracTUTV.$$ Kỳ sau chúng ta sẽ minh chứng định lý này mang đến trường hợp xác suất có dấu.Chứng minh Định lý Ceva với Định lý MenelausDùng định lý về phần trăm diện tích, họ có cách minh chứng rất dễ dàng và thú vị mang đến Định lý Ceva với Định lý Menelaus.Chứng minh Định lý Ceva. giả sử tía đường trực tiếp $AA"$, $BB"$, $CC"$ đồng quy trên điểm $I$. Vậy thì theo định lý về phần trăm diện tích, chúng ta có $$fracvecA"BvecA"C = fracoverlines(IAB)overlines(IAC), ~~~~fracvecB"CvecB"A = fracoverlines(IBC)overlines(IBA), ~~~~fracvecC"AvecC"B = fracoverlines(ICA)overlines(ICB).$$
Vậy $$fracvecA"BvecA"C imes fracvecB"CvecB"A imes fracvecC"AvecC"B = fracoverlines(IAB)overlines(IAC) imes fracoverlines(IBC)overlines(IBA) imes fracoverlines(ICA)overlines(ICB)$$ $$= left( - fracoverlines(IAB)overlines(ICA) ight) imes left( - fracoverlines(IBC)overlines(IAB) ight) imes left( - fracoverlines(ICA)overlines(IBC) ight) = -1.$$Trường hòa hợp ngược lại, giả dụ $$fracvecA"BvecA"C imes fracvecB"CvecB"A imes fracvecC"AvecC"B = -1,$$ họ cần chứng tỏ rằng bố đường trực tiếp $AA"$, $BB"$, $CC"$ đồng quy. đưa sử $AA"$ cùng $BB"$ cắt nhau trên $I$. Gọi $C""$ là giao điểm của $CI$ cùng $AB$, chúng ta cần minh chứng $C"" = C"$. Thực vậy, cũng chính vì $AA"$, $BB"$, $CC""$ đồng quy bắt buộc theo như những gì chúng ta vừa triệu chứng minh dứt thì $$fracvecA"BvecA"C imes fracvecB"CvecB"A imes fracvecC""AvecC""B = -1$$ cho nên vì vậy $$fracvecC""AvecC""B = fracvecC"AvecC"B.$$ Vì tỷ lệ có dấu xác minh duy nhất một điểm trên đường thẳng $AB$ cho nên vì vậy $C" = C""$.Vậy chúng ta chứng minh kết thúc định lý Ceva.Chứng minh Định lý Menelaus. mang sử cha đường thẳng $A"$, $B"$, $C"$ trực tiếp hàng. Bọn họ lấy ngẫu nhiên hai điểm $I$ và $J$ nằm trên tuyến đường thẳng $A"B"C"$. Theo định lý về xác suất diện tích, bọn họ có $$fracvecA"BvecA"C = fracoverlines(IJB)overlines(IJC), ~~~~fracvecB"CvecB"A = fracoverlines(IJC)overlines(IJA), ~~~~fracvecC"AvecC"B = fracoverlines(IJA)overlines(IJB).$$
Vậy $$fracvecA"BvecA"C imes fracvecB"CvecB"A imes fracvecC"AvecC"B = fracoverlines(IJB)overlines(IJC) imes fracoverlines(IJC)overlines(IJA) imes fracoverlines(IJA)overlines(IJB) = 1.$$Trường hợp trái lại thì chứng tỏ tương trường đoản cú như định lý Ceva.Như vậy chúng ta đã chứng minh dứt định lý Ceva với định lý Menelaus. Các bạn học cấp 2 không học về phần trăm có dấu và diện tích gồm dấu thì vẫn hoàn toàn có thể dùng cách chứng tỏ này được bằng phương pháp sử dụng phần trăm thông thường và ăn diện tích thông thường. Riêng so với định lý Menelaus, thay bởi dùng phần trăm diện tích, các bạn có thể sử dụng tỷ lệ đường cao hạ từ các đỉnh $A$, $B$, $C$ ra ngoài đường thẳng $A"B"C"$.
Mở rộng Định lý Ceva và Định lý MenelausChúng ta thấy cách minh chứng ở trên rất đối chọi giản, nhưng mà thú vị ở vị trí là bọn họ dễ dàng không ngừng mở rộng được Định lý Ceva và Định lý Menelaus cho một đa giác bất kỳ.Ví dụ dưới đấy là định lý Ceva và định lý Menelaus mang đến ngũ giác.Định lý Ceva mang lại ngũ giác. mang đến ngũ giác $A_1 A_2 A_3 A_4 A_5$ với năm điểm $B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$, $B_5$ theo lần lượt nằm trên năm mặt đường thẳng $A_5 A_2$, $A_1 A_3$, $A_2 A_4$, $A_3 A_5$, $A_4 A_1$. Nếu các đường thẳng $A_1 B_1$, $A_2 B_2$, $A_3 B_3$, $A_4 B_4$, $A_5 B_5$ đồng quy thì $$fracvecB_1 A_5vecB_1 A_2 imes fracvecB_2 A_1vecB_2 A_3 imes fracvecB_3 A_2vecB_3 A_4 imes fracvecB_4 A_3vecB_4 A_5 imes fracvecB_5 A_4vecB_5 A_1= -1.$$
Chứng minh. trả sử năm đường thẳng $A_1 B_1$, $A_2 B_2$, $A_3 B_3$, $A_4 B_4$, $A_5 B_5$ đồng quy tại điểm $I$ thì theo định lý về phần trăm diện tích, họ có $$fracvecB_1 A_5vecB_1 A_2 imes fracvecB_2 A_1vecB_2 A_3 imes fracvecB_3 A_2vecB_3 A_4 imes fracvecB_4 A_3vecB_4 A_5 imes fracvecB_5 A_4vecB_5 A_1$$ $$= fracoverlines(I A_1 A_5)overlines(I A_1 A_2) imes fracoverlines(I A_2 A_1)overlines(I A_2 A_3) imes fracoverlines(I A_3 A_2)overlines(I A_3 A_4) imes fracoverlines(I A_4 A_3)overlines(I A_4 A_5) imes fracoverlines(I A_5 A_4)overlines(I A_5 A_1)$$ $$= left( - fracoverlines(I A_5 A_1)overlines(I A_1 A_2) ight) left( - fracoverlines(I A_1 A_2)overlines(I A_2 A_3) ight) left( - fracoverlines(I A_2 A_3)overlines(I A_3 A_4) ight) left( - fracoverlines(I A_3 A_4)overlines(I A_4 A_5) ight) left( - fracoverlines(I A_4 A_5)overlines(I A_5 A_1) ight) = -1.$$Định lý Menelaus mang đến ngũ giác. mang đến ngũ giác $A_1 A_2 A_3 A_4 A_5$ cùng năm điểm $B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$, $B_5$ lần lượt nằm bên trên năm con đường thẳng $A_1 A_2$, $A_2 A_3$, $A_3 A_4$, $A_4 A_5$, $A_5 A_1$. Nếu các điểm $B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$, $B_5$ thẳng sản phẩm thì $$fracvecB_1 A_1vecB_1 A_2 imes fracvecB_2 A_2vecB_2 A_3 imes fracvecB_3 A_3vecB_3 A_4 imes fracvecB_4 A_4vecB_4 A_5 imes fracvecB_5 A_5vecB_5 A_1= 1.$$
Chứng minh. đưa sử năm điểm $B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$, $B_5$ nằm trên thuộc một con đường thẳng, chúng ta lấy bất kỳ hai điểm $I$, $J$ trên tuyến đường thẳng này thì theo định lý về xác suất diện tích, họ có $$fracvecB_1 A_1vecB_1 A_2 imes fracvecB_2 A_2vecB_2 A_3 imes fracvecB_3 A_3vecB_3 A_4 imes fracvecB_4 A_4vecB_4 A_5 imes fracvecB_5 A_5vecB_5 A_1$$ $$= fracoverlines(I J A_1)overlines(I J A_2) imes fracoverlines(I J A_2)overlines(I J A_3) imes fracoverlines(I J A_3)overlines(I J A_4) imes fracoverlines(I J A_4)overlines(I J A_5) imes fracoverlines(I J A_5)overlines(I J A_1) = 1.$$ Bây giờ bọn họ phát biểu định lý Ceva với định lý Menelaus mang lại đa giác bất kỳ.Định lý Ceva chođagiác.Cho đagiác $n$-cạnh$A_1 A_2 dots A_n$ cùng $n$ điểm $B_1$, ..., $B_n$, trong đó điểm $B_i$ nằm trê tuyến phố thẳng $A_i-1 A_i+1$. Nếu như $n$ con đường thẳng $A_1 B_1$, $A_2 B_2$, ..., $A_n B_n$ đồng quy thì $$prod_i=1^n fracvecB_i A_i-1vecB_i A_i+1 = (-1)^n.$$Định lý Menelaus chođagiác.Cho đagiác $n$-cạnh$A_1 A_2 dots A_n$ và $n$ điểm $B_1$, ..., $B_n$, trong số đó điểm $B_i$ nằm trên đường thẳng $A_i A_i+1$. Nếu những điểm $B_1$, $B_2$, ..., $B_n$ thẳng sản phẩm thì $$prod_i=1^n fracvecB_i A_ivecB_i A_i+1 = 1.$$Như vậy bây giờ chúng ta đã học về định lý Ceva và định lý Menelaus. Cả nhị định lý được minh chứng nhờ áp dụng một định lý vềtỷ lệ diện tích tam giác.Cách chứng tỏ này thiệt là hay bởi vì nó mang đến phép chúng ta mở rộng nhị định lý này mang đến đa giác bất kỳ.Chúng ta tạm dừng ở đây. Xin hẹn chạm mặt lại chúng ta ở kỳ sau.Bài tập về nhà.1. Ở trong hình dưới đây, minh chứng rằng $$fracUBUC = fracVBVC.$$
2. đến tam giác $ABC$ với độ dài những cạnh $AB = c$, $BC = a$, $CA = b$. Mang sử đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với những cạnh ở các điểm $A"$, $B"$, $C"$. Tính những độ nhiều năm $AB"$, $AC"$, $BA"$, $BC"$, $CA"$, $CB"$ theo $a$, $b$, $c$. Chứng tỏ rằng cha đường thẳng $AA"$, $BB"$, $CC"$ đồng quy.
Xem thêm: Thị Tẩm Là Gì? Vua Thị Tẩm Như Thế Nào? Hé Lộ Bí Mật Chuyện Phòng The Chốn Hậu Cung
3. Không ngừng mở rộng định lý Menelaus mang đến trường hợp các điểm trong ko gian. Chẳng hạn với 4 điểm họ có việc sau.Cho tứ diện $ABCD$. Một khía cạnh phẳng cắt những đường trực tiếp $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ tại những điểm $X$, $Y$, $Z$, $T$. Chứng minh rằng $$fracvecXAvecXB imes fracvecYBvecYC imes fracvecZCvecZD imes fracvecTDvecTA = 1.$$
4. Mang ví dụ một vài ba điểm $A$, $B$, $C$ bên trên hệ trục toạ độ $0xy$ rồi tính diện tích có dấu $overlines(ABC)$. Chúng ta có phát hiện nay ra bao giờ thì $overlines(ABC)$ là số dương và khi nào $overlines(ABC)$ là số âm không?5. Rước ví dụ một vài ba điểm $A$, $B$, $C$ ở thẳng mặt hàng trên hệ trục toạ độ $0xy$ rồi tính diện tích s có dấu $overlines(ABC)$.6. Minh chứng rằng $
Labels:cấp 2,cấp 3,Ceva,diện tích,diện tích tất cả dấu,đa giác,Định lý Mê-nê-la-uýt,Định lý Xê-va,hình học,hình học tập phẳng,Menelaus,tam giác,tâm tỉ cự,vectơ
Bài đăng mới hơnBài đăng Cũ hơnTrang chủ
Ủng hộ sân vườn Toán bên trên facebook
Lưu trữ Blog
► 2017(1) ► 2016(7) ► 2015(12) ► 2014(12) ▼ 2013(26) ▼ tháng sáu(3) ► 2012(36) ► 2011(7)
Bài toán liên kết facebook
Phép nhân thời trang bị đá
Mắt Biếc hồ Thu
Lục giác kỳ diệu
Định lý Pitago
1 = 2012 = 2013
Dãy số Fibonacci và một việc xếp hình
James vẽ hình
Câu hỏi của James
Hình vuông số thiết yếu phương vi diệu của Vianney!
Câu đố vui về đo lường
Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều
Chào năm mới 2014
Chào năm mới tết đến 2015
Chào năm mới tết đến 2016
Không gian 4 chiều là gì?
Dựng hình nhiều giác đều
Dựng nhiều giác hầu hết 15 cạnh
Ngày số Pi (2015)
Ngày số Pi (2016)
0.9999999... Có bởi 1 không? (2015)
Hình tam giác
Bàn cờ vua cùng kim từ bỏ tháp
Dãy số - Phần 1
Dãy số - Phần 2Dãy số - Phần 3Dãy số - Phần 4Dãy số - Phần 5Dãy số - Phần 6Dãy số - Phần 7Dãy số - Phần 8Dãy số - Phần 9
Tam giác Pascal
Quy nạpQuy nạp IIQuy nạp IIINhị thức Newton1 = 2012 = 2013Đa thức nội suy NewtonĐa thức nội suy LagrangeChứng minh Định lý Wilson bởi công thức nội suyTổng luỹ thừa
Số phức
Số phức
cách làm Moivre
Lượng giác
Công thức lượng giác cho góc bội
Công thức lượng giác Gauss mang đến 17-giác đều
Ngày số Pi (2016)
Radian là gì?
modulo - Phần 1
modulo - Phần 2
modulo - Phần 3
modulo - Phần 4
modulo - Phần 5
modulo - Phần 6
Số nguyên tố
Định lý Euclid về số nguyên tố
Một vài bài toán về số nguyên tố
Định lý Wilson
Bộ số Pitago
Modulo cho số hữu tỷ
Modulo đến số hữu tỷ II
Chứng minh lại định lý Wilson
Bổ đề Bezout
Thuật toán Euclid
Tổng luỹ thừa
Tổng luỹ thừa với định lý Wolstenholme
Câu đố mẹo về đo lường
Dựng nhiều giác đông đảo 15 cạnh
Bò đi con bọ cạp!
Liên phân số Fibonacci
Hằng đẳng thức Pitago
Hình vuông số kỳ lạ của Euler
Bài toán liên kết facebook
Dãy số Fibonacci cùng một bài toán xếp hìnhHằng đẳng thức về dãy số FibonacciDãy số Fibonacci với tam giác Pascal
Định lý Pitago
Định lý mặt đường cao tam giác vuôngĐịnh lý MorleyPhương tíchTrục đẳng phương và vai trung phong đẳng phươngĐịnh lý Ceva cùng Định lý MenelausLục giác kỳ diệuĐịnh lý PascalĐịnh lý PappusCánh bướm PascalBài toán con bướmĐịnh lý ngôi sao 5 cánh Do TháiHãy chăm chú trường hợp sệt biệtBài toán về tìm khoảng cách ngắn nhất với một đặc điểm của hình elípĐiểm Fermat của hình tam giácĐiểm Fermat của hình tam giác II
Dựng hình bởi thước và compa
Bài toán phân tách hình tứ giácDựng hình ngũ giác đềuDựng hình đa giác đềuDựng nhiều giác đa số 15 cạnhĐịnh lý con đường cao tam giác vuôngThuật toán dựng hìnhCông thức lượng giác Gauss mang đến 17-giác số đông Dựng hình chỉ bởi compa sử dụng compa chia hầu hết đoạn thẳng