Bài viết trình diễn các dạng toán thường gặp gỡ và phương pháp tìm nguyên hàm của những hàm số cất căn thức (hàm số vô tỉ), đấy là dạng toán rất thông dụng trong lịch trình Giải tích 12 chương 3.

Bạn đang xem: Nguyên hàm chứa căn

Để tìm nguyên hàm của những hàm số cất căn thức (hàm số vô tỉ) ta đề nghị linh hoạt lựa lựa chọn một trong các cách thức cơ phiên bản sau:1. Phương pháp tam thức bậc hai.2. Cách thức phân tích.3. Cách thức đổi biến.4. Phương thức nguyên hàm từng phần.5. áp dụng các phương pháp khác nhau.Sau đây bọn họ cùng đi để mắt tới từng dạng.

Dạng toán 1: tìm nguyên hàm những hàm số đựng căn thức (hàm số vô tỉ) dựa vào tam thức bậc hai.Trên cửa hàng đưa tam thức bậc nhì về dạng bao gồm tắc và dùng những công thức sau:1. $int fracxdxsqrt x^2 pm a = sqrt x^2 pm a + C.$2. $int fracdxsqrt x^2 pm a = ln left| x + sqrt x^2 pm a ight| + C.$3. $int sqrt x^2 pm a dx$ $ = fracx2sqrt x^2 pm a $ $ pm fraca2ln left| x + sqrt x^2 pm a ight|$ $ + C.$

Ví dụ 1: tìm nguyên hàm những hàm số chứa căn thức sau:a) $int fracxdxsqrt x^2 + 1 .$b) $int frac(2x + 1)dxsqrt 2x^2 + 2x .$

a) Ta có thể lựa chọn các cách trình diễn sau:Cách 1: Ta biến đổi: $int fracxdxsqrt x^2 + 1 $ $ = int fracdleft( x^2 + 1 ight)2sqrt x^2 + 1 $ $ = sqrt x^2 + 1 + C.$Cách 2: Đặt $u = x^2 + 1$, suy ra: $du = 2xdx$ $ Leftrightarrow xdx = frac12du.$Từ đó: $int fracxdxsqrt x^2 + 1 $ $ = int fracdu2sqrt u $ $ = sqrt u + C$ $ = sqrt x^2 + 1 + C.$Cách 3: Đặt $u = sqrt x^2 + 1 $, suy ra: $u^2 = x^2 + 1$ $ Rightarrow 2udu = 2xdx$ $ Leftrightarrow xdx = udu.$Từ đó: $int fracxdxsqrt x^2 + 1 = int fracuduu $ $ = int du = u + C$ $ = sqrt x^2 + 1 + C.$b) Ta hoàn toàn có thể lựa chọn các cách trình diễn sau:Cách 1: Ta biến đổi đổi: $int frac(2x + 1)dxsqrt 2x^2 + 2x $ $ = int fracdleft( 2x^2 + 2x ight)2sqrt 2x^2 + 2x $ $ = sqrt 2x^2 + 2x + C.$Cách 2: Đặt $u = 2x^2 + 2x$, suy ra: $du = (4x + 2)dx$ $ = 2(2x + 1)dx$ $ Leftrightarrow (2x + 1)dx = frac12du.$Từ đó: $int frac(2x + 1)dxsqrt 2x^2 + 2x $ $ = int fracdu2sqrt u $ $ = sqrt u + C$ $ = sqrt 2x^2 + 2x + C.$Cách 3: Đặt: $u = sqrt 2x^2 + 2x $, suy ra: $u^2 = 2x^2 + 2x$ $ Rightarrow 2udu = (4x + 2)dx$ $ = 2(2x + 1)dx$ $ Leftrightarrow (2x + 1)dx = udu.$Từ đó: $int frac(2x + 1)dxsqrt 2x^2 + 2x $ $ = int fracuduu $ $ = int d u = u + C$ $ = sqrt 2x^2 + 2x + C.$

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm những hàm số cất căn thức sau:a) $f(x) = frac1sqrt x^2 – a .$b) $f(x) = frac1sqrt x^2 – x – 1 .$

a) Đặt $t = x + sqrt x^2 – a $, suy ra: $dt = left( 1 + fracxsqrt x^2 – a ight)dx$ $ = fracsqrt x^2 – a + xsqrt x^2 – a dx$ $ = fractdxsqrt x^2 – a $ $ Leftrightarrow fracdxsqrt x^2 – a = fracdtt.$Khi đó: $int f (x)dx$ $ = int fracdxsqrt x^2 – a $ $ = int fracdtt $ $ = ln |t| + C$ $ = ln left| x + sqrt x^2 – a ight| + C.$b) Ta hoàn toàn có thể lựa chọn các cách trình diễn sau:Cách 1: Ta có: $int f (x)dx$ $ = int fracdxsqrt x^2 – x – 1 $ $ = int fracdxsqrt left( x – frac12 ight)^2 – frac54 .$Đặt $t = x – frac12$ $ Rightarrow dt = dx.$Khi đó: $int f (x)dx$ $ = int fracdtsqrt t^2 – frac54 $ $ = ln left| t + sqrt t^2 – frac54 ight| + C$ $ = ln left| x – frac12 + sqrt x^2 – x – 1 ight| + C.$Cách 2: Ta có: $int f (x)dx$ $ = int fracdxsqrt x^2 – x – 1 $ $ = int fracdxsqrt left( x – frac12 ight)^2 – frac54 .$Đặt $t = x – frac12 + sqrt x^2 – x – 1 $, suy ra: $dt = left( 1 + frac2x – 12sqrt x^2 – x – 1 ight)dx$ $ = left( 1 + fracx – frac12sqrt x^2 – x – 1 ight)dx$ $ = fracleft( sqrt x^2 – x – 1 + x – frac12 ight)dxsqrt x^2 – x – 1 $ $ Leftrightarrow fracdxsqrt x^2 – x – 1 = fracdtt.$Khi đó: $int f (x)dx$ $ = int fracdxsqrt x^2 – x – 1 $ $ = int fracdtt $ $ = ln |t| + C$ $ = ln left| x – frac12 + sqrt x^2 – x – 1 ight| + C.$

Ví dụ 3: Biết rằng $int fracdxsqrt x^2 + 3 $ $ = ln left( x + sqrt x^2 + 3 ight) + C.$ tìm nguyên hàm: $I = int sqrt x^2 + 3 dx.$

Sử dụng cách thức nguyên hàm từng phần bằng cách đặt:$left{ eginarray*20lu = sqrt x^2 + 3 \dv = dxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20ldu = fracxsqrt x^2 + 3 dx\v = xendarray ight.$Khi đó: $I = xsqrt x^2 + 3 – int fracx^2dxsqrt x^2 + 3 $ $ = xsqrt x^2 + 3 – int fracleft( x^2 + 3 – 3 ight)dxsqrt x^2 + 3 $ $ = xsqrt x^2 + 3 $ $ – int sqrt x^2 + 3 dx$ $ + int frac3dxsqrt x^2 + 3 .$$ Leftrightarrow 2I = xsqrt x^2 + 3 $ $ + 3ln left( x + sqrt x^2 + 3 ight) + C.$$ Leftrightarrow I = frac12xsqrt x^2 + 3 $ $ + frac32ln left( x + sqrt x^2 + 3 ight) + C.$Chú ý: Với những em học sinh đã kinh nghiệm trong việc tính nguyên hàm có thể trình bày theo phong cách sau:$sqrt x^2 + 3 $ $ = frac12 cdot frac2x^2 + 6sqrt x^2 + 3 $ $ = frac12 cdot left( sqrt x^2 + 3 + fracx^2sqrt x^2 + 3 ight)$ $ + frac32 cdot frac1sqrt x^2 + 3 $ $ = frac12 cdot left( xsqrt x^2 + 3 ight)^prime + frac32 cdot frac1sqrt x^2 + 3 .$Khi đó: $I = frac12int left( xsqrt x^2 + 3 ight)^prime dx$ $ + frac32int fracdxsqrt x^2 + 3 $ $ = frac12xsqrt x^2 + 3 $ $ + frac32ln left( x + sqrt x^2 + 3 ight) + C.$

Ví dụ 4: tìm kiếm nguyên hàm của hàm số $f(x) = fracx^2sqrt x^2 + 1 .$

Ta có: $int f (x)dx$ $ = int fracx^2dxsqrt x^2 + 1 $ $ = int fracleft< left( x^2 + 1 ight) – 1 ight>dxsqrt x^2 + 1 $ $ = int left( sqrt x^2 + 1 – frac1sqrt x^2 + 1 ight)dx $ $ = int sqrt x^2 + 1 dx$ $ – int fracdxsqrt x^2 + 1 $ $ = fracx2sqrt x^2 + 1 $ $ + frac12ln left| x + sqrt x^2 + 1 ight|$ $ – ln left| x + sqrt x^2 + 1 ight| + C$ $ = fracx2sqrt x^2 + 1 $ $ – frac12ln left| x + sqrt x^2 + 1 ight| + C.$

Dạng 2: tìm kiếm nguyên hàm của hàm số $f(x) = sqrt fracx – ax + a $, với $a > 0.$ Ta hoàn toàn có thể lựa chọn 1 trong hai giải pháp sau:Cách 1: vì điều kiện: $fracx – ax + a ge 0$ $ Leftrightarrow left< {eginarray*20lx ge a\x endarray ight.$ yêu cầu ta xét hai trường hợp:Trường đúng theo 1: Với $x ge a$ thì:$int f (x)dx$ $ = int sqrt fracx – ax + a dx$ $ = int frac(x – a)dxsqrt x^2 – a^2 $ $ = int frac2xdx2sqrt x^2 – a^2 – aint fracdxsqrt x^2 – a^2 $ $ = sqrt x^2 – a^2 $ $ – ln left| x + sqrt x^2 – a^2 ight| + C.$Trường hòa hợp 2: Với $x $int f (x)dx$ $ = int sqrt fracx – ax + a dx$ $ = – int frac(x – a)dxsqrt x^2 – a^2 $ $ = – int frac2xdx2sqrt x^2 – a^2 $ $ + aint fracdxsqrt x^2 – a^2 $ $ = – sqrt x^2 – a^2 $ $ + ln left| x + sqrt x^2 – a^2 ight| + C.$Cách 2: Đặt: $t = sqrt fracx – ax + a $ $ Rightarrow t^2 = fracx – ax + a$ $ Rightarrow x = fracaleft( 1 + t^2 ight)1 – t^2$ $ Rightarrow dx = frac4atdtleft( 1 – t^2 ight)^2.$Khi đó: $int f (x)dx$ $ = int sqrt fracx – ax + a dx$ $ = int frac4at^2dtleft( 1 – t^2 ight)^2 $ $ = 4aint fracleft< left( t^2 – 1 ight) + 1 ight>dtleft( t^2 – 1 ight)^2 $ $ = 4aleft< underbrace int fracdtt^2 – 1 _I_1 + underbrace int fracdtleft( t^2 – 1 ight)^2 _1_2 ight>.$Các nguyên hàm $I_1$ với $I_2$ bọn họ đã biết phương pháp giải.

Ví dụ: tra cứu nguyên hàm của hàm số $f(x) = sqrt fracx – 1x + 1 .$

Vì điều kiện $fracx – 1x + 1 ge 0$ $ Leftrightarrow left< {eginarray*20lx ge 1\x endarray ight.$, ta xét nhị trường hợp:Trường thích hợp 1: Với $x ge 1$ thì:$int f (x)dx$ $ = int sqrt fracx – 1x + 1 dx$ $ = int frac(x – 1)dxsqrt x^2 – 1 $ $ = int frac2xdx2sqrt x^2 – 1 – int fracdxsqrt x^2 – 1 $ $ = sqrt x^2 – 1 $ $ – ln left| x + sqrt x^2 – 1 ight| + C.$Trường đúng theo 2: Với $x $int f (x)dx$ $ = int sqrt fracx – 1x + 1 dx$ $ = – int frac(x – 1)dxsqrt x^2 – 1 $ $ = – int frac2xdx2sqrt x^2 – 1 + int fracdxsqrt x^2 – 1 $ $ = – sqrt x^2 – 1 $ $ + ln left| x + sqrt x^2 – 1 ight| + C.$

Dạng 3: search nguyên hàm của hàm số $f(x) = fracdxsqrt ax + b + sqrt ax + c $, với $a e 0$ và $b – c e 0.$ Khử tính vô tỉ ở mẫu số bằng cách trục căn thức, ta được:$I = frac1b – cint (sqrt ax + b + sqrt ax + c ) dx$ $ = frac1a(b – c)left< int (ax + b)^1/2 d(ax + b) + int (ax + c)^1/2 d(ax + c) ight>$ $ = frac23a(b – c)left< sqrt (ax + b)^3 + sqrt (ax + c)^3 ight> + C.$

Ví dụ 1: search nguyên hàm của hàm số: $f(x) = an x + frac1sqrt 2x + 1 + sqrt 2x – 1 .$

Ta có: $int f (x)dx$ $ = int left( an x + frac1sqrt 2x + 1 + sqrt 2x – 1 ight) dx$ $ = int fracsin xdxcos x $ $ + int fracsqrt 2x + 1 – sqrt 2x – 1 2 dx$ $ = – ln |cos x|$ $ + frac13left< (2x + 1)^3/2 – (2x – 1)^3/2 ight> + C.$

Ví dụ 2: kiếm tìm nguyên hàm của hàm số: $f(x) = frac2xx + sqrt x^2 – 1 .$

Ta rất có thể lựa lựa chọn 1 trong hai biện pháp giải sau:Cách 1: (Sử dụng cách thức biến đổi): Ta có:$int f (x)dx$ $ = int frac2xx + sqrt x^2 – 1 dx$ $ = int frac2xleft( x – sqrt x^2 – 1 ight)x^2 – x^2 + 1 dx$ $ = int 2 x^2dx – int 2 xsqrt x^2 – 1 dx$ $ = frac23x^3 – int sqrt x^2 – 1 dleft( x^2 – 1 ight) + C$ $ = frac23x^3 – frac23sqrt left( x^2 – 1 ight)^3 + C.$Cách 2: (Sử dụng cách thức đổi biến chuyển số): Đặt $t = x + sqrt x^2 – 1 $ ta có:$t – x = sqrt x^2 – 1 $ $ Rightarrow x = fract^2 + 12t$ $ Rightarrow dx = fract^2 – 12t^2dt.$Khi đó: $int f (x)dx$ $ = int frac2xdxx + sqrt x^2 – 1 $ $ = int frac2 cdot fract^2 + 12t cdot fract^2 – 12t^2dtt $ $ = int fracleft( t^4 – 1 ight)dt2t^4 $ $ = frac12int left( 1 – frac1t^4 ight) dt$ $ = frac12left( t + frac13t^3 ight) + C$ $ = frac12left( x + sqrt x^2 – 1 ight)$ $ + frac16left( x + sqrt x^2 – 1 ight)^3 + C.$

Dạng 4: tìm kiếm nguyên hàm của hàm số đựng căn thức (hàm số vô tỉ) bằng cách sử dụng các đồng bộ thức.Ví dụ: tìm nguyên hàm của hàm số: $f(x) = fracxsqrt<10>x + 1.$

Sử dụng nhất quán thức $x = x + 1 – 1$, ta được: $f(x) = fracx + 1 – 1sqrt<10>x + 1$ $ = (x + 1)^9/10 – (x + 1)^ – 1/10.$Do đó: $int f (x)dx$ $ = int left< (x + 1)^9/10 – (x + 1)^ – 1/10 ight> dx$ $ = frac1019(x + 1)^19/10$ $ – frac109(x + 1)^9/10 + C.$

Dạng 5: kiếm tìm nguyên hàm của hàm số: $f(x) = fracv(x)dxsqrt u^2(x) pm alpha .$Ta thực hiện theo các bước sau:Bước 1: Phân tích: $fracv(x)sqrt u^2(x) + alpha $ $ = fracaleft< u^2(x) + alpha ight>sqrt u^2(x) + alpha $ $ + fracbu(x)sqrt u^2(x) + alpha $ $ + fraccsqrt u^2(x) + alpha .$Sử dụng phương thức hằng số cô động ta xác định được $a,b,c.$Bước 2: Áp dụng những công thức:1. $int fracxdxsqrt x^2 pm a $ $ = sqrt x^2 pm a + C.$2. $int fracdxsqrt x^2 pm a $ $ = ln left| x + sqrt x^2 pm a ight| + C.$3. $int sqrt x^2 pm a dx$ $ = fracx2sqrt x^2 pm a $ $ pm fraca2ln left| x + sqrt x^2 pm a ight| + C.$

Ví dụ: tìm kiếm nguyên hàm của hàm số $f(x) = frac2x^2 + 1sqrt x^2 + 2x .$

Ta có: $frac2x^2 + 1sqrt x^2 + 2x $ $ = frac2x^2 + 1sqrt (x + 1)^2 – 1 $ $ = fracaleft< (x + 1)^2 – 1 ight>sqrt (x + 1)^2 – 1 $ $ + fracb(x + 1)sqrt (x + 1)^2 – 1 $ $ + fraccsqrt (x + 1)^2 – 1 $ $ = fracax^2 + (2a + b)x + b + csqrt x^2 + 2x .$Đồng nhất đẳng thức, ta được:$left{ eginarray*20la = 2\2a + b = 0\b + c = 1endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20la = 2\b = – 4\c = 5endarray ight.$Khi đó: $frac2x^2 + 1sqrt x^2 + 2x $ $ = 2sqrt (x + 1)^2 – 1 $ $ – frac4(x + 1)sqrt (x + 1)^2 – 1 $ $ + frac5sqrt (x + 1)^2 – 1 .$Do đó: $int f (x)dx$ $ = int left< 2sqrt (x + 1)^2 – 1 – frac4(x + 1)sqrt (x + 1)^2 – 1 + frac5sqrt (x + 1)^2 – 1 ight> dx$ $ = (x + 1)sqrt x^2 + 2x $ $ – ln left| x + 1 + sqrt x^2 + 2x ight|$ $ – 4sqrt x^2 + 2x $ $ + 5ln left| x + 1 + sqrt x^2 + 2x ight| + C$ $ = (x + 1)sqrt x^2 + 2x $ $ + 4ln left| x + 1 + sqrt x^2 + 2x ight|$ $ – 4sqrt x^2 + 2x + C.$

Dạng 6: (Phương pháp thay đổi biến) search nguyên hàm của hàm số: $f(x) = frac1sqrt (x + a)(x + b) .$ Ta xét hai trường hợp:Trường phù hợp 1: Với: $left{ eginarray*20lx + a > 0\x + b > 0endarray ight.$Đặt $t = sqrt x + a + sqrt x + b $, suy ra: $dt = left( frac12sqrt x + a + frac12sqrt x + b ight)dx$ $ = frac(sqrt x + a + sqrt x + b )dx2sqrt (x + a)(x + b) .$$ Leftrightarrow fracdxsqrt (x + a)(x + b) = frac2dtt.$Khi đó: $int f (x)dx$ $ = 2int fracdtt $ $ = 2ln |t| + C$ $ = 2ln |sqrt x + a + sqrt x + b | + C.$Trường đúng theo 2: Với: $left{ {eginarray*20l{x + a x + b endarray ight.$Đặt $t = sqrt – (x + a) + sqrt – (x + b) $, suy ra: $dt = left< – frac12sqrt – (x + a) – frac12sqrt – (x + b) ight>dx$ $ = – fracdx2sqrt (x + a)(x + b) .$$ Leftrightarrow fracdxsqrt (x + a)(x + b) = – frac2dtt.$Khi đó: $int f (x)dx$ $ = – 2int fracdtt $ $ = – 2ln |t| + C$ $ = – 2ln |sqrt – (x + a) + sqrt – (x + b) | + C.$

Ví dụ: tìm kiếm nguyên hàm của hàm số $f(x) = frac1sqrt x^2 – 5x + 6 .$

Biến thay đổi $I$ về dạng: $int f (x)dx$ $ = int fracdxsqrt (x – 2)(x – 3) .$Ta xét nhì trường hợp:Trường thích hợp 1: Với: $left{ eginarray*20lx – 2 > 0\x – 3 > 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow x > 3.$Đặt $t = sqrt x – 2 + sqrt x – 3 $, suy ra: $dt = left( frac12sqrt x – 2 + frac12sqrt x – 3 ight)dx$ $ = frac(sqrt x – 2 + sqrt x – 3 )dx2sqrt (x – 2)(x – 3) .$$ Leftrightarrow fracdxsqrt (x – 2)(x – 3) = frac2dtt.$Khi đó: $int f (x)dx$ $ = 2int fracdtt $ $ = 2ln |t| + C$ $ = 2ln |sqrt x – 2 + sqrt x – 3 | + C.$Trường thích hợp 2: Với $left{ {eginarray*20l{x – 2 x – 3 endarray ight.$ $ Leftrightarrow x Đặt $t = sqrt 2 – x + sqrt 3 – x $, suy ra: $dt = left< – frac12sqrt 2 – x – frac12sqrt 3 – x ight>dx$ $ = – fracdx2sqrt (x – 2)(x – 3) .$$ Leftrightarrow fracdxsqrt (x – 2)(x – 3) = – frac2dtt.$Khi đó: $int f (x)dx$ $ = – 2int fracdtt $ $ = – 2ln |t| + C$ $ = – 2ln |sqrt 2 – x + sqrt 3 – x | + C.$

Dạng 7: (Phương pháp đổi biến): tra cứu nguyên hàm của hàm số: $I = int R left( x,sqrt a^2 – x^2 ight)dx$ với $a > 0.$Ta tiến hành theo công việc sau:Bước 1: Đặt $left< eginarray*20la\aendarray ight.$ (hoặc gồm thể $t = x + sqrt a^2 – x^2 $).Bước 2: câu hỏi được chuyển về $I = int S (sin t,cos t)dt.$

Ví dụ: tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = fracx^3sqrt 1 – x^2 .$

Ta rất có thể trình bày theo hai biện pháp sau:Cách 1: Đặt $x = sin t$, $ – fracpi 2 lúc đó: $int f (x)dx$ $ = frac14int (3sin t – sin 3t) dt$ $ = – frac34cos t + frac112cos 3t + C$ $ = – frac34cos t + frac112left( 4cos ^3t – 3cos t ight) + C$ $ = frac13cos ^3t – cos t + C$ $ = left( frac13cos ^2t – 1 ight)cos t + C$ $ = left< frac13left( 1 – sin ^2t ight) – 1 ight>cos t + C$ $ = left< frac13left( 1 – x^2 ight) – 1 ight>sqrt 1 – x^2 + C$ $ = – frac13left( x^2 + 2 ight)sqrt 1 – x^2 + C.$Chú ý: trong số giải bên trên ta có: $ – fracpi 2 0$ $ Rightarrow left{ eginarray*20lsqrt cos ^2t = cos t\cos t = sqrt 1 – sin ^2t = sqrt 1 – x^2 endarray ight.$Cách 2: Đặt $t = sqrt 1 – x^2 $, suy ra: $x^2 = 1 – t^2$, tự đó: $2xdx = – 2tdt$ và $fracx^3dxsqrt 1 – x^2 $ $ = fracx^2xdxsqrt 1 – x^2 $ $ = fracleft( 1 – t^2 ight)( – tdt)t$ $ = left( t^2 – 1 ight)dt.$Khi đó: $int f (x)dx$ $ = int left( t^2 – 1 ight) dt$ $ = frac13t^3 – t + C$ $ = frac13left( t^2 – 3 ight)t + C$ $ = – frac13left( x^2 + 2 ight)sqrt 1 – x^2 + C.$

Dạng 8: (Phương pháp thay đổi biến) tìm kiếm nguyên hàm của hàm số: $I = int R left( x,sqrt a^2 + x^2 ight)dx$, với $a > 0.$Ta thực hiện theo quá trình sau:Bước 1: Đặt $left< {eginarray*20l{x = |a| an t: mvới: – fracpi 2 x = ight.$ (hoặc gồm thể $t = x + sqrt a^2 + x^2 $).Bước 2: việc được đưa về $I = int S (sin t,cos t)dt.$

Ví dụ: tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = sqrt 1 + x^2 .$

Ta rất có thể trình bày theo hai giải pháp sau:Cách 1: Đặt $x = an t$, $ – fracpi 2 lúc đó: $int f (x)dx$ $ = int fracdtcos ^3t $ $ = int fraccos tdtcos ^4t $ $ = int fraccos tdtleft( 1 – sin ^2t ight)^2 .$Đặt $u = sin t$, suy ra: $du = cos tdt$ và $frac m cos tdt m left( 1 – sin ^2t ight)^2$ $ = fracdu(u + 1)^2(u – 1)^2.$Khi đó: $int f (x)dx$ $ = int fracdu(u + 1)^2(u – 1)^2 $ $ = frac14left< – frac2u(u + 1)(u – 1) ight> + C$ $ = frac14left< fracsin t + 1sin t – 1 ight ight> + C$ $ = frac14left< ln left ight> + C$ $ = frac14left( ln left ight) + C$ $ = frac14left( 2ln left ight) + C$ $ = frac12left( + xsqrt 1 + x^2 ight) + C.$Cách 2: Đặt $t = x + sqrt 1 + x^2 $, suy ra: $t – x = sqrt 1 + x^2 $ $ Rightarrow (t – x)^2 = 1 + x^2$ $ Rightarrow x = fract^2 – 12t.$$ Rightarrow sqrt 1 + x^2 $ $ = t – fract^2 – 12t$ $ = fract^2 + 12t.$$ Rightarrow dt = left( 1 + fracxsqrt 1 + x^2 ight)dx$ $ = fracx + sqrt 1 + x^2 sqrt 1 + x^2 dx$ $ = frac2t^2t^2 + 1dx$ $ Leftrightarrow dx = fract^2 + 12t^2dt$, $sqrt 1 + x^2 dx$ $ = fract^2 + 12t cdot fract^2 + 12t^2dt$ $ = frac14fracleft( t^2 + 1 ight)^2t^3dt$ $ = frac14left( t + frac2t + frac1t^3 ight)dt.$Khi đó: $int f (x)dx$ $ = frac14int left( t + frac2t + frac1t^3 ight) dt$ $ = frac14left( frac12t^2 + 2ln ight) + C$ $ = frac18left< ight> + C$ $ = frac18left< 4xsqrt 1 + x^2 + 4ln left ight> + C$ $ = frac12left( x + sqrt 1 + x^2 ight ight) + C.$Cách 3: (Sử dụng phương thức tích phân từng phần).Đặt $left{ eginarray*20lu = sqrt x^2 + 1 \dv = dxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20ldu = fracxdxsqrt x^2 + 1 \v = xendarray ight.$Khi đó: $I = int f (x)dx$ $ = xsqrt x^2 + 1 – int fracx^2dxsqrt x^2 + 1 .$Trong đó: $int fracx^2dxsqrt x^2 + 1 $ $ = int fracleft< left( x^2 + 1 ight) – 1 ight>dxsqrt x^2 + 1 $ $ = int sqrt x^2 + 1 dx – int fracdxsqrt x^2 + 1 $ $ = I – ln left| x + sqrt x^2 + 1 ight| + C.$Vậy: $I = xsqrt x^2 + 1 $ $ – left( + C ight).$$ Leftrightarrow 2I = xsqrt x^2 + 1 + ln left| x + sqrt x^2 + 1 ight| + C.$$ Leftrightarrow I = fracx2sqrt x^2 + 1 + frac12ln left| x + sqrt x^2 + 1 ight| + C.$Chú ý:1. Trong giải pháp giải đầu tiên sở dĩ ta có: $sqrt 1 + x^2 = frac1cos t$ và $sin t = fracxsqrt 1 + x^2 $ là bởi $ – fracpi 2 0$ $ Rightarrow left{ eginarray*20lsqrt cos ^2t = cos t\sin t = an t.cos t = fracxsqrt 1 + x^2 endarray ight.$2. Cả ba cách thức trên (tốt tốt nhất là phương thức 2) được vận dụng để tìm những nguyên hàm:$int sqrt x^2 + a dx$ $ = fraca2ln left| x + sqrt x^2 + a ight|$ $ + fracx2sqrt x^2 + a + C.$$int fracdxsqrt x^2 + a $ $ = ln left| x + sqrt x^2 + a ight| + C.$3. Với nguyên hàm $int fracdxsqrt left( a^2 + x^2 ight)^2k + 1 $, với $k in Z$ cực tốt là sử dụng phương pháp 1.4. Cùng với nguyên hàm $I = int sqrt (x + a)(x + b) dx$ ta có thể thực hiện như sau:Đặt $t = x + fraca + b2$ và $A = – frac(b – a)^24$, suy ra: $dt = dx$ và $sqrt (x + a)(x + b) dx$ $ = sqrt t^2 + A dt.$Khi đó: $I = int sqrt t^2 + A dt$ $ = fracA2ln left| t + sqrt t^2 + A ight|$ $ + fract2sqrt t^2 + A + C$ $ = – frac(b – a)^28ln left| x + fraca + b2 + sqrt (x + a)(x + b) ight|$ $ + frac2x + a + b4sqrt (x + a)(x + b) + C.$

Dạng 9: (Phương pháp đổi biến): tìm kiếm nguyên hàm của hàm số: $I = int R left( x,sqrt x^2 – a^2 ight)dx$, với $a > 0.$Ta tiến hành theo quá trình sau:Bước 1: Đặt $left< eginarray*20lx = fracasin t: mvới:t in left< – fracpi 2,fracpi 2 ight>ackslash 0 \x = fracacos t: mvới:t in <0,pi >ackslash left fracpi 2 ight\endarray ight.$ (hoặc có thể $t = sqrt x^2 – a^2 .$Bước 2: việc được đưa về $I = int S (sin t,cos t)dt.$

Ví dụ: tìm kiếm nguyên hàm của hàm số $f(x) = fracx2x^2 – 1 + 3sqrt x^2 – 1 .$

Ta có thể trình bày theo hai biện pháp sau:Cách 1: Đặt $t = sqrt x^2 – 1 $ thì $t^2 = x^2 – 1$, suy ra: $2tdt = 2xdx$ và $fracxdx2x^2 – 1 + 3sqrt x^2 – 1 $ $ = fracxdx2left( x^2 – 1 ight) + 3sqrt x^2 – 1 + 1$ $ = frac m tdt m 2t^2 + 3t + 1.$Khi đó: $int f (x)dx = int fractdt2t^2 + 3t + 1 .$Ta có: $frac12t^2 + 3t + 1$ $ = fract(2t + 1)(t + 1)$ $ = fraca2t + 1 + fracbt + 1$ $ = frac(a + 2b)t + a + b(2t + 1)(t + 1).$Đồng nhất đẳng thức, ta được: $left{ eginarray*20la + 2b = 1\a + b = 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20la = – 1\b = 1endarray ight.$Khi đó: $fract2t^2 + 3t + 1$ $ = – frac12t + 1 + frac1t + 1.$Do đó: $int f (x)dx$ $ = int left( – frac12t + 1 + frac1t + 1 ight) dt$ $ = – frac12ln |2t + 1| + ln |t + 1| + C$ $ = frac12ln frac(t + 1)^22t + 1 + C$ $ = frac12ln fracleft( sqrt x^2 – 1 + 1 ight)^22sqrt x^2 – 1 + 1 + C.$Cách 2: vì điều kiện $|x| > 1$, ta xét hai trường hợp:Trường vừa lòng 1: Với $x > 1$ thì đặt $x = frac1cos t$, $t in left< 0;fracpi 2 ight)$ suy ra $dx = fracsin tdtcos ^2t.$Khi đó: $I = int f (x)dx$ $ = int fracxdx2x^2 – 1 + 3sqrt x^2 – 1 $ $ = int fracfrac1cos t cdot fracsin tcos ^2tdtfrac2cos ^2t – 1 + 3 an t $ $ = int fracleft( 1 + an ^2t ight) an tdt2left( 1 + an ^2t ight) – 1 + 3 an t $ $ = int fracleft( 1 + an ^2t ight) an tdt2 an ^2t + 3 an t + 1 .$Đặt $u = an t$ suy ra: $du = fracdtcos ^2t = left( 1 + an ^2t ight)dt.$Khi đó: $I = int fracudu2u^2 + 3u + 1 $ $ = int left( – frac12u + 1 + frac1u + 1 ight) du$ $ = – frac12ln |2u + 1| + ln |u + 1| + C$ $ = frac12ln frac(u + 1)^22u + 1 + C$ $ = frac12ln frac( an t + 1)^22 an t + 1 + C$ $ = frac12ln fracleft( sqrt x^2 – 1 + 1 ight)^22sqrt x^2 – 1 + 1 + C.$Trường phù hợp 2: Với $x Dạng 10: (Phương pháp đổi biến) search nguyên hàm của hàm số: $I = int R left( x,sqrt (x – a)(b – x) ight)dx.$Ta tiến hành theo công việc sau:Bước 1: Đặt $x = a + (b – a)sin ^2t.$Bước 2: vấn đề được đưa về $I = int S (sin t,cos t)dt.$

Ví dụ: tìm nguyên hàm của hàm số: $f(x) = frac1sqrt <(x – a)(b – x)>^3 $ với $a lúc đó: $int f (x)dx$ $ = frac1(b – a)^2int fracdtsin ^22t $ $ = – fraccot 2t2(b – a)^2 + C$ $ = – fraca + b – 2x2sqrt (x – a)(b – x) + C.$

Dạng 11: (Phương pháp thay đổi biến): tìm nguyên hàm của hàm số: $I = int R left( x,sqrt ax^2 + bx + c ight)dx.$Ta có thể lựa chọn một trong hai phương pháp sau:Cách 1: (Đưa $I$ về những dạng nguyên hàm cơ phiên bản đã biết): Ta xét những trường hợp sau:Trường vừa lòng 1: Nếu $a > 0$ và $Delta Bước 1: Ta có: $ax^2 + bx + c$ $ = – fracDelta 4aleft< 1 + left( frac2ax + bsqrt – Delta ight)^2 ight>.$Bước 2: tiến hành phép đổi biến: $t = frac2ax + bsqrt – Delta .$Bước 3: bài toán được đưa về $I = int S left( t,sqrt 1 + t^2 ight)dt.$Trường vừa lòng 2: Nếu $a 0$ thì ta thực hiện theo những bước:Bước 1: Ta có: $ax^2 + bx + c$ $ = – fracDelta 4aleft< 1 – left( frac2ax + bsqrt Delta ight)^2 ight>.$Bước 2: thực hiện phép đổi biến: $t = frac2ax + bsqrt Delta .$Bước 3: câu hỏi được chuyển về $I = int S left( t,sqrt 1 – t^2 ight)dt.$Trường phù hợp 3: Nếu $a > 0$ và $Delta > 0$ thì ta tiến hành theo các bước:Bước 1: Ta có: $ax^2 + bx + c$ $ = fracDelta 4aleft< left( frac2ax + bsqrt Delta ight)^2 – 1 ight>.$Bước 2: thực hiện phép trở thành đổi: $t = frac2ax + bsqrt Delta .$Bước 3: vấn đề được đưa về $I = int S left( t,sqrt t^2 – 1 ight)dt.$Cách 2: (Sử dụng phép chũm Euler): Ta xét các trường đúng theo sau:1. Nếu $a > 0$, đặt $sqrt ax^2 + bx + c = t – xsqrt a $ hoặc $t + xsqrt a .$2. Nếu $c > 0$, đặt $sqrt ax^2 + bx + c = tx + sqrt c $ hoặc $tx – sqrt c .$3. Trường hợp tam thức $ax^2 + bx + c$ gồm biệt số $Delta > 0$ thì: $ax^2 + bx + c$ $ = aleft( x – x_1 ight)left( x – x_2 ight).$ lúc đó đặt $sqrt ax^2 + bx + c = tleft( x – x_1 ight).$

Ví dụ: search nguyên hàm của hàm số $f(x) = sqrt x^2 + 2x + 2 .$

Sử dụng phép đổi biến $t = x + 1$ suy ra $dt = dx.$Khi đó: $I = int sqrt t^2 + 1 dt.$ Tích phân này bọn họ biết biết cách xác định.

Dạng 12: tìm kiếm nguyên hàm của hàm số: $f(x) = fracdx(lambda x + mu )sqrt ax^2 + bx + c .$Ta thực hiện theo công việc sau:Bước 1: Đặt $t = frac1lambda x + mu .$Bước 2: bài toán được gửi về $I = int fracdtsqrt alpha t^2 + eta t + gamma .$Chú ý: cách thức trên hoàn toàn có thể được vận dụng cho dạng tổng quát hơn là: $I = int frac(Ax + B)dx(lambda x + mu )^nsqrt ax^2 + bx + c .$

Ví dụ: tìm kiếm nguyên hàm của hàm số: $f(x) = frac1(x + 1)sqrt x^2 + 2x + 2 .$

Đặt $t = frac1x + 1$ thì $x = frac1t – 1$ suy ra: $dx = – frac1t^2dt$, $fracdx(x + 1)sqrt x^2 + 2x + 2 $ $ = fractleft( – frac1t^2 ight)dtsqrt frac1t^2 + 1 $ $ = – fracdttsqrt frac1t^2 + 1 $ $ = left{ {eginarray*20l – fracdtsqrt 1 + t^2 : mkhi:t > 0\fracdtsqrt 1 + t^2 : mkhi:t endarray ight.$Khi đó ta xét hai trường hợp:Trường vừa lòng 1: cùng với $t>0$, ta được: $int f (x)dx$ $ = ln left| frac1 – sqrt x^2 + 2x + 2 x + 1 ight| + C.$Trường vừa lòng 2: Với $t kết luận với $t e 0 Leftrightarrow x e – 1$ ta luôn luôn có: $int f (x)dx$ $ = ln left| frac1 – sqrt x^2 + 2x + 2 x + 1 ight| + C.$

Dạng 13: (Phương pháp thay đổi biến): tìm nguyên hàm của hàm số: $I = int R left( x,sqrtfracax + bcx + d ight)dx$ với $ad – bc e 0.$Ta tiến hành theo các bước sau:Bước 1: Đặt $t = sqrtfracax + bcx + d$ $ Rightarrow t^n = fracax + bcx + d$ $ Leftrightarrow x = fracb – dt^nct^n – a.$Bước 2: vấn đề được gửi về: $I = int S (t)dt.$

Dạng 14: kiếm tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = fracP(x)Q(x) cdot fracdxy$, trong đó $y = sqrt ax^2 + bx + c .$Ta thực hiện theo quá trình sau:Bước 1: phân tích hàm hữu tỉ $fracP(x)Q(x)$ thành các phân số buổi tối giản.Bước 2: tuyển lựa các phương thức phù hợp cho từng tích phân mới.

Xem thêm: Soạn Văn 11 Bài Chí Phèo Phần 1, Soạn Bài Chí Phèo: Tác Giả Nam Cao

Ví dụ: tìm kiếm nguyên hàm của hàm số $f(x) = frac6x^3 + 8x + 1left( 3x^2 + 4 ight)sqrt x^2 + 1 .$

Ta có: $frac6x^3 + 8x + 13x^2 + 4$ $ = 2x + frac13x^2 + 4.$Do đó: $I = int f (x)dx$ $ = int left( 2x + frac13x^2 + 4 ight) frac1sqrt x^2 + 1 dx$ $ = underbrace int fracxdxsqrt x^2 + 1 _I_1$ $ + underbrace int fracdxleft( 3x^2 + 4 ight)sqrt x^2 + 1 _I_2.$Trong đó: $I_1 = int fracxdxsqrt x^2 + 1 $ $ = sqrt x_.^2 + 1 + C.$Với $I_2$ ta triển khai phép đổi biến $t = fracxsqrt x^2 + 1 $ thì $x^2 = fract^21 – t^2$ suy ra: $dt = fracdxleft( x^2 + 1 ight)sqrt x^2 + 1 .$Khi đó: $I_2 = int fracdxleft( 3x^2 + 4 ight)sqrt x^2 + 1 $ $ = int fracleft( x^2 + 1 ight)sqrt x^2 + 1 dtleft( 3x^2 + 4 ight)sqrt x^2 + 1 $ $ = smallint fracleft( fract^21 – t^2 + 1 ight)dtfrac3t^21 – t^2 + 4$ $ = int fracdt4 – t^2 $ $ = – frac14ln left| fract – 2t + 2 ight| + C$ $ = frac14ln left| fract + 2t – 2 ight| + C$ $ = frac14ln left| fracx + 2sqrt x^2 + 1 x – 2sqrt x^2 + 1 ight| + C.$Vậy: $I = sqrt x^2 + 1 $ $ + frac14ln left| fracx + 2sqrt x^2 + 1 x – 2sqrt x^2 + 1 ight| + C.$

Dạng 15: cách thức nguyên hàm từng phần.Ví dụ: kiếm tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = sqrt x^2 + a .$

Đặt $left{ eginarray*20lu = sqrt x^2 + a \dv = dxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20ldu = fracxdxsqrt x^2 + a \v = xendarray ight.$Khi đó: $I = int f (x)dx$ $ = xsqrt x^2 + a – underbrace int fracx^2dxsqrt x^2 + a _J.$Biến thay đổi $J$ như sau: $J = int fracx^2dxsqrt x^2 + a $ $ = int fracleft< left( x^2 + a ight) – a ight>dxsqrt x^2 + a $ $ = int sqrt x^2 + a dx – aint fracdxsqrt x^2 + a $ $ = I – aln left| x + sqrt x^2 + a ight| + C.$Vậy: $I = xsqrt x^2 + a $ $ – left( + C ight)$ $ Leftrightarrow I = fracx2sqrt x^2 + a $ $ + fraca2ln left| x + sqrt x^2 + a ight| + C.$