Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng cách thức nguyên hàm từng phần rất hay

Với tra cứu nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương thức nguyên hàm từng phần cực hay Toán lớp 12 bao gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm bao gồm lời giải cụ thể sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài bác tập tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần từ kia đạt điểm trên cao trong bài bác thi môn Toán lớp 12.

Bạn đang xem: Nguyên hàm e mũ x

*

A. Cách thức giải

1. Định lí

Nếu hai hàm số u = u(x) với v = v(x) có đạo hàm tiếp tục trên K thì ∫u(x)v"(x)dx = u(x)v(x) - ∫u"(x)v(x)dx. Viết gọn: ∫udv = uv - ∫vdu.

2. Biện pháp đặt

Các dạng cơ bản: trả sử cần tính I = ∫P(x).Q(x)dx

*

* thường thì nên chú ý: “Nhất log, nhị đa, tam lượng, tứ mũ”

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính ∫x.lnx dx.

*

Lời giải

*

Chọn A.

Ví dụ 2. Tính ∫(x - 1)exdx.

A. (x - 1)ex + ex + C.

B. Xex - ex + C.

C. Xex + C.

D. (x - 2)ex + C.

Lời giải

*

Chọn D.

Ví dụ 3. tìm nguyên hàm của hàm số:

*

*

Lời giải

*

Chọn C.

Ví dụ 4. kiếm tìm I = ∫(3x2 - x + 1)exdx.

A. I = (3x2 - 7x + 8)ex + C.

B. I = (3x2 - 7x)ex + C.

C. I = (3x2 - 7x + 8) + ex + C.

D. I = (3x2 - 7x + 3)ex + C.

Lời giải

Sử dụng phương thức tính nguyên hàm từng phần, ta có:

Đặt u = 3x2 - x + 1 và dv = exdx

⇒ du = (6x - 1)dx cùng v = ex. Bởi đó:

I = ∫(3x2 - x + 1)exdx = (3x2 - x + 1)ex - ∫(6x - 1)exdx

Đặt u1 = 6x - 1 và dv1 = exdx ta tất cả du1 = 6dx và v1 = ex. Bởi đó:

∫(6x - 1)exdx = (6x - 1)ex - 6∫exdx = (6x - 1)ex - 6ex + C.

Từ đó suy ra:

I = ∫(3x2 - x + 1)exdx = (3x2 - x + 1)ex - (6x - 7)ex + C = (3x2 - 7x + 8)ex + C.

Chọn A.

Ví dụ 5. Nguyên hàm của hàm số

*
bằng:

*

Lời giải

Ta có:

*

Chọn C.

Ví dụ 6. trả sử F(x) là một trong nguyên hàm của hàm số:

*

Biết F(1) = 0. Vậy F(x) bằng:

*

Lời giải

Ta có:

*

Chọn B.

Ví dụ 7. Hàm số f(x) = x.ex có các nguyên hàm là:

*

Lời giải

Ta có: ∫x.exdx = ∫xd(ex) = x.ex - ∫exdx = x.ex - ex + C.

Chọn D.

Ví dụ 8. search nguyên hàm của hàm số f(x) = x2(3.lnx + 1).

*

Lời giải

*

Chọn C.

Ví dụ 9. chúng ta nguyên hàm của hàm số

*
qua phép đặt t = √x là:

A. F(t) = 2tln2t - 4t + C.

B. F(t) = 2tln2t + 4t + C.

C. 2tlnt2 + 4t + C.

D. 2tlnt2 - 4t + C.

Lời giải

*

Quan sát những đáp án ta thấy D đúng, do 2tlnt2 - 4t + C = 4tlnt - 4t + C.

Chọn D.

Ví dụ 10. chúng ta nguyên hàm của hàm số

*
là:

*

Lời giải

*

Chọn C.

Ví dụ 11. tìm nguyên hàm của những hàm số sau: ∫(1 - 2x)exdx

A. Ex(2 - 3x) + C.

B. Ex(3 - 3x) + C.

C. Ex(3 - 2x) + C.

D. Ex(2 + 3x) + C.

Lời giải

*

Chọn C.

Ví dụ 12. search nguyên hàm của các hàm số sau ∫√x.lnx dx

*

Lời giải

*

Chọn D.

Ví dụ 13. cho F(x) = x2 là một trong những nguyên hàm của hàm số f(x).e2x. Tìm nguyên hàm của hàm số f"(x)e2x.

A. ∫f"(x)e2xdx = -x2 + 2x + C.

B. ∫f"(x)e2xdx = -x2 + x + C.

C. ∫f"(x)e2xdx = 2x2 - 2x + C.

D. ∫f"(x)e2xdx = -2x2 + 2x + C.

Lời giải

Từ trả thiết ⇒ F"(x) = f(x).e2x ⇔ (x2)" = f(x).e2x ⇔ 2x = f(x).e2x (1)

Đặt A = ∫f"(x).e2xdx.

Đặt u = e2x ⇒ du = 2.e2xdx, dv = f’(x)dx. Chọn v = f(x)

⇒ A = e2x.f(x) - 2∫f(x).e2xdx = 2x - 2F(x) + C = -2x2 + 2x + C.

Chọn D.

Ví dụ 14. mang lại F(x) = (x - 1).ex là 1 nguyên hàm của hàm số f(x).e2x. Tìm nguyên hàm của hàm số f"(x).e2x.

*

Lời giải

*

Chọn C.

Ví dụ 15. mang lại

*
là một nguyên hàm của hàm số
*
. Kiếm tìm nguyên hàm của hàm số f"(x)lnx.

*

Lời giải

*

Chọn C.

C. Bài bác tập vận dụng

Câu 1: tìm kiếm nguyên hàm của các hàm số sau ∫(2x + 3)e-xdx

A. -e-x(2x - 1) + C.

B. -e-x(2x + 1) + C.

C. -e-x(2x + 5) + C.

D. Đáp án khác.

Lời giải:

*

Chọn C.

Câu 2: Tính ∫x.2xdx bằng:

*

Lời giải:

*

Chọn A.

Câu 3: Tính ∫lnxdx bằng:

*

Lời giải:

*

Chọn D.

Câu 4: Tính ∫2xln(x - 1)dx bằng:

*

Lời giải:

*

Chọn C.

Câu 5: Nguyên hàm I = ∫xln(x + 1)dx bằng:

*

Lời giải:

*

Chọn A.

Câu 6: gọi F(x) là một trong nguyên hàm của hàm số f(x) = x + ln(x + 1). Biết F(0) = 1, vậy F(x) bằng:

*

Lời giải:

*

Chọn A.

Câu 7: search nguyên hàm của hàm số f(x) = (x2 - 1)ex

*

Lời giải:

*

Cách khác: Đối với nguyên hàm từng phần dạng:

∫f(x).exdx = f(x).ex - f"(x).ex + f""(x).ex - ... + f(k).ex + C.

∫(x2 - 1)exdx = (x2 - 1)ex - 2xex + 2ex + C = (x2 - 2x + 1).ex + C.

Chọn A.

Câu 8: kiếm tìm nguyên hàm H của hàm số f(x) = (3x2 + 1)lnx

*

Lời giải:

*

Chọn A.

Câu 9: kiếm tìm nguyên hàm H của hàm số f(x) = √x.lnx

*

Lời giải:

*

Chọn C.

Xem thêm: Hno3 Là Gì? Những Lưu Ý Của Axit Nitric Là Một Trong Những Axit Có

Câu 10: tìm nguyên hàm của hàm số sau: ∫x.lnxdx

*

Lời giải:

*

Chọn B.

Câu 11: Hàm số y = f(x) tất cả đạo hàm f"(x) = x3.ex2 và f(0) = 0. Chọn kết quả đúng: