Bài viết trình diễn lý thuyết, bí quyết và những ví dụ có lời giải cụ thể về phương pháp tính thể tích khối lăng trụ, đó là dạng toán thường chạm chán trong lịch trình Hình học 12 chương 1.
Bạn đang xem: Thể tích khối lăng trụ đứng
Phương pháp tính thể tích khối lăng trụCông thức:• Thể tích khối lăng trụ: $V = B.h$.• Thể tích khối vỏ hộp chữ nhật có những cạnh $a, b, c$: $V = abc$.• Thể tích khối lập phương cạnh $a$: $V = a^3$.Để tính thể tích của khối lăng trụ ta đề nghị đi tính độ cao của lăng trụ và ăn mặc tích đáy.
Các đặc điểm của lăng trụ:a. Hình lăng trụ• Các sát bên của hình lăng trụ tuy nhiên song và bởi nhau.• những mặt mặt của hình lăng trụ là các hình bình hành.• Hai đáy của hình lăng trụ là hai nhiều giác cân nhau và bên trong hai mặt phẳng tuy vậy song với nhau.• Lăng trụ có các lân cận vuông góc hai lòng được điện thoại tư vấn là lăng trụ đứng.* Các ở kề bên của lăng trụ đứng chính là đường cao của nó.* các mặt bên của lăng trụ đứng là những hình chữ nhật.• Lăng trụ đứng tất cả đáy là nhiều giác phần đông được hotline là lăng trụ đều. Các mặt bên của lăng trụ các là các hình chữ nhật bởi nhau.b. Hình hộp: Là hình lăng trụ tất cả đáy là hình bình hành:• Hình hộp đứng bao gồm các cạnh bên vuông góc với đáy.• Hình hộp đứng bao gồm đáy là hình chữ nhật được gọi là hình hộp chữ nhật.• Hình vỏ hộp chữ nhật có ba kích thước bằng nhau được gọi là hình lập phương.• Đường chéo cánh của hình hộp chữ nhật có ba kích cỡ $a, b, c$ là: $d = sqrt a^2 + b^2 + c^2.$• Đường chéo của hình lập phương cạnh $a$ là $d = a sqrt 3.$
Các dạng toán thể tích khối lăng trụDạng 1: Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáyVí dụ 1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác $ABC.A’B’C’$ là tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ gồm cạnh $BC = asqrt 2 $ và biết $A’B = 3a$. Tính thể tích khối lăng trụ.
Ta có:$Delta ABC$ vuông cân tại $A$ cần $AB = AC = a.$$ABC.A’B’C’$ là lăng trụ đứng $ Rightarrow AA’ ot AB$, cho nên $Delta AA’B$ vuông trên $A$ nên: $AA‘^2 = A"B^2 – AB^2 = 8a^2$ $ Rightarrow AA’ = 2asqrt 2 .$Vậy $V = S_Delta ABC.AA’ = a^3sqrt 2 .$
Ví dụ 2: đến lăng trụ tứ giác đa số $ABCD.A’B’C’D’$ có sát bên bằng $4a$ cùng đường chéo $5a$. Tính thể tích khối lăng trụ này.
$ABCD.A’B’C’D’$ là lăng trụ đứng đề xuất $ΔBDD’$ vuông tại $D$, vì chưng đó: $BD^2 = BD’^2 – DD’^2 = 9a^2$ $ Rightarrow BD = 3a.$$ABCD$ là hình vuông vắn $ Rightarrow AB = frac3asqrt 2 .$Suy ra $S_ABCD = frac9a^24.$Vậy $V = S_ABCD.AA’ = 9a^3.$
Ví dụ 3: Đáy của lăng trụ đứng tam giác $ABC.A’B’C’$ là tam giác mọi cạnh $a = 4$ cùng biết diện tích s tam giác $A’BC$ bằng $8$. Tính thể tích khối lăng trụ.
Gọi $I$ là trung điểm $BC$. Ta có:$ΔABC$ phần đa nên $AI = fracABsqrt 3 2 = 2sqrt 3 $ và $AI ot BC$ $ Rightarrow A’I ot BC$ (theo định lý bố đường vuông góc).$S_A’BC = frac12BC.A’I$ $ Rightarrow A’I = frac2S_A’BCBC = 4.$$AA’ ot (ABC) Rightarrow AA’ ot AI.$$Delta A’AI$ vuông tại $A$ nên $ Rightarrow AA’ = sqrt A"I^2 – AI^2 = 2.$Vậy: $V_ABC.A’B’C’ = S_ABC.AA’ = 8sqrt 3 .$
Ví dụ 4: Cho hình vỏ hộp đứng tất cả đáy là hình thoi cạnh $a$ và gồm góc nhọn bằng $60°.$ Đường chéo cánh lớn của đáy bằng đường chéo bé dại của lăng trụ. Tính thể tích hình hộp.
Xác định các điểm như hình vẽ.Ta bao gồm tam giác $ΔABD$ đều yêu cầu $BD = a$, $S_ABCD = 2S_ABD = fraca^2sqrt 3 2.$Theo đề bài xích $BD’ = AC = 2fracasqrt 3 2 = asqrt 3 .$$Delta DD’B$ vuông tại $D$ $ Rightarrow DD’ = sqrt BD‘^2 – BD^2 = asqrt 2 .$Vậy $V = S_ABCD.DD’ = fraca^3sqrt 6 2.$
Dạng 2: Lăng trụ đứng gồm góc giữa đường thẳng cùng mặt phẳngVí dụ 5: cho lăng trụ đứng tam giác $ABC.A’B’C’$ tất cả đáy $ABC$ là tam giác vuông cân nặng tại $B$ với $BA = BC = a$, biết $A’B$ phù hợp với đáy $ABC$ một góc $60°.$ Tính thể tích lăng trụ.
Ta có $A’A ot (ABC)$ cần $AB$ là hình chiếu của $A’B$ trên lòng $(ABC)$, suy ra góc $left( widehat A’B,(ABC)
ight) = widehat ABA’ = 60^o.$$A’A ot AB$ nên $Delta ABA’$ vuông tại $A$ $ Rightarrow AA’ = AB. an 60^0 = asqrt 3 .$$S_ABC = frac12BA.BC = fraca^22.$Vậy $V = S_ABC.AA’ = fraca^3sqrt 3 2.$
$Delta ABC$ vuông tại $A$ $ Rightarrow AB = AC. an 60^o = asqrt 3 .$Ta có: $AB ot AC; AB ot AA’$ $ Rightarrow AB ot (AA’C’C)$ nên $AC’$ là hình chiếu của $BC’$ trên $(AA’C’C).$Do đó $widehat left( BC’;left( AA’C’C ight) ight) = widehat BC’A = 30°.$$Delta AC’B$ vuông tại $A$ $ Rightarrow AC’ = fracABmathop m t olimits man30^o = 3a.$$Delta AA’C’$ vuông tại $A’$ $ Rightarrow AA’ = sqrt AC’^2 – A’C’^2 = 2asqrt 2 .$$S_ABC = frac12AB.AC = fraca^2sqrt 3 2.$Vậy $V = S_ABC.AA’ = a^3sqrt 6 .$
Ví dụ 7: mang đến lăng trụ đứng $ABCD.A’B’C’D’$ bao gồm đáy $ABCD$ là hình vuông vắn cạnh $a$ với đường chéo $BD’$ của lăng trụ hợp với đáy $ABCD$ một góc $30°$. Tính thể tích cùng tổng diên tích của những mặt mặt của lăng trụ.
Ta có $ABCD.A’B’C’D’$ là lăng trụ đứng đề nghị $BD$ là hình chiếu của $BD’$ trên $(ABCD).$Suy ra $widehat left( BD’;left( ABCD ight) ight) = widehat DBD’ = 30^o.$$Delta BDD’$ vuông trên $D$ $ Rightarrow DD’ = BD. an 30^0 = fracasqrt 6 3.$Vậy $V = S_ABCD.DD’ = fraca^3sqrt 6 3.$$S = 4S_ADD’A’ = frac4a^2sqrt 6 3.$
Dạng 3: Lăng trụ đứng có góc thân 2 khía cạnh phẳngVí dụ 8: đến lăng trụ đứng tam giác $ABC.A’B’C’$ gồm đáy $ABC$ là tam giác vuông cân nặng tại $B$ cùng với $BA = BC = a$, biết $(A’BC)$ hợp với đáy $(ABC)$ một góc $60°$.Tính thể tích lăng trụ.
Ta có: $AA’ ot (ABC) Rightarrow BC ot AA’.$Mà $BC ot AB$ nên $BC ot (ABA’).$Suy ra $BC ot A’B.$Do đó $widehat left( (A’BC),(ABC) ight) = widehat ABA’ = 60^o.$$Delta ABA’$ vuông tại $A$ nên $AA’ = AB. an 60^0 = asqrt 3 .$$S_ABC = frac12BA.BC = fraca^22.$Vậy $V = S_ABC.AA’ = fraca^3sqrt 3 2.$
Ví dụ 9: Đáy của lăng trụ đứng tam giác $ABC.A’B’C’$ là tam giác đều. Mặt phẳng $(A’BC)$ sản xuất với đáy một góc $30°$ và diện tích tam giác $A’BC$ bằng $8$. Tính thể tích khối lăng trụ.
Gọi $I$ là trung điểm của $BC.$$Delta ABC$ những $ Rightarrow AI ot BC$, mà $AA’ ot (ABC)$ nên $A’I ot BC$ (định lý $3$ mặt đường vuông góc).Do đó: $widehat left( left( A’BC ight);left( ABC ight) ight) = widehat A’IA = 30^o.$Giả sử $BI = x$, suy ra $AI = x sqrt 3$.Ta có: $ΔA’AI$ vuông trên $A$ bắt buộc $A’I = AI.cos30° = 2x$ cùng $A’A = AI. an 30° = x.$$S_A’BC = BI.A’I = x.2x = 8$, suy ra $x = 2.$Vậy $V_ABC.A’B’C’ = BI.AI.A’A = 8√3 .$
Ví dụ 10: Cho hình vỏ hộp chữ nhật $ABCD.A’B’C’D’$ tất cả $AA’ = 2a$; mặt phẳng $(A’BC)$ hợp với đáy $(ABCD)$ một góc $60°$và $A’C$ hợp với đáy $(ABCD)$ một góc $30°$.Tính thể tích khối vỏ hộp chữ nhật.
Ta có $AA’ ot (ABCD)$, suy ra $AC$ là hình chiếu của $A’C$ trên $(ABCD).$Nên $widehat left( A’C,left( ABCD ight) ight) = widehat A’CA = 30^o.$$BC ot (ABB’A’)$ nên $widehat left( A’BC ight),left( ABCD ight) = widehat A’BA = 60^o.$$Delta A’AC$ vuông trên $A$ nên $AC = AA’.cot30^o = 2asqrt 3 .$$Delta A’AB$ vuông trên $A$ nên $AB = AA’.cot60^o = frac2asqrt 3 3.$$Delta ABC$ vuông trên $B$ nên $ Rightarrow BC = sqrt AC^2 – AB^2 = frac4asqrt 6 3.$Vậy: $V = AB.BC.AA’ = frac16a^3sqrt 2 3.$
Dạng 4: Khối lăng trụ xiênVí dụ 11: cho lăng trụ xiên tam giác $ABC.A’B’C’$ tất cả đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, biết bên cạnh là $asqrt 3 $ và hợp với đáy $ABC$ một góc $60°$. Tính thể tích lăng trụ.
Xem thêm: Nêu Cảm Nhận Của Em Về Nhân Vật Phương Định, Please Wait
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $C’$ lên $(ABC)$.Khi đó $widehat left( CC’,(ABC) ight) = widehat C’CH = 60^o.$$Delta CHC’$ vuông tại $H$ $ Rightarrow C’H = CC’.sin 60^0 = frac3a2.$$S_ABC = fraca^2sqrt 3 4.$Vậy $V = S_ABC.C’H = frac3a^3sqrt 3 8.$
Ví dụ 12: Cho lăng trụ xiên tam giác $ABC.A’B’C’$ gồm đáy $ABC$ là tam giác phần nhiều cạnh $a$. Hình chiếu của $A’$ xuống $(ABC)$ là chổ chính giữa $O$ mặt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ biết $AA’$ hợp với đáy $(ABC)$ một góc $60°.$1. Minh chứng rằng $BB’C’C$ là hình chữ nhật.2. Tính thể tích lăng trụ.
1. Ta tất cả $BB’C’C$ là hình bình hành vị là mặt bên của lăng trụ.Gọi $H$ là trung điểm của $BC$, vị tam giác $ΔABC$ đều đề xuất $O ∈ AH.$Ta có: $BC ot AH$ và $BC ot A’O$ phải $BC ot (AAH)’$, cho nên $BC ot A’A.$Mà $AA’ // BB’$, vì thế $BC ot BB’$, suy ra $BB’C’C$ là hình chữ nhật.2. $Delta ABC$ phần đông nên $AO = frac23AH = frac23fracasqrt 3 2 = fracasqrt 3 3.$$Delta AOA’$ vuông trên $O$ $ Rightarrow A’O = AO an 60^o = a.$Vậy $V = S_ABC.A’O = fraca^3sqrt 3 4.$
Ví dụ 13: mang lại hình vỏ hộp $ABCD.A’B’C’D’$ bao gồm đáy là hình chữ nhật cùng với $AB = sqrt 3$, $AD = sqrt 7$. Hai mặt mặt $(ABB’A’)$ cùng $(ADD’A’)$ lần lượt sản xuất với đáy số đông góc $45°$ và $60°$. Tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng $1.$
Kẻ $A’H ot (ABCD)$, $HM ot AB$, $HN ot AD$ (các điểm nằm trên các đường thẳng cùng mặt phẳng như hình vẽ).Khi kia $A’M ot AB$ với $A’N ot AD.$Suy ra: $ widehat A’MH = 45^o, widehat A’NH = 60^o.$Đặt $A’H = x$.$ΔA’HN$ vuông tại $H$ buộc phải $A’N = x : sin 60° = frac2xsqrt 3 .$$ΔA’AN$ vuông trên $N$ nên $AN = sqrt AA‘^2 – A"N^2 = sqrt frac3 – 4x^23 .$$ΔA’MH$ vuông trên $H$ nên $HM = x.cot45^0 = x.$Vì tứ giác $AMHN$ là hình chữ nhật phải $AN = MH$, suy ra: $sqrt frac3 – 4x^23 = x$ $ Leftrightarrow x = sqrt frac37 .$Vậy $V_ABCD.A’B’C’D’ = AB.AD.A’H = 3.$