Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến tính (Linear Algebra)Xác suất thống kêVideo bài xích giảngThảo luậnThảo luận về giải tíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

Ví dụ: xác minh cận rước tích phân sau vào tọa độ cực:

1. D số lượng giới hạn bởi :

*

Ta có: D giới hạn bởi mặt đường tròn trung ương O , nửa đường kính 1 nên O phía bên trong miền D, và đầy đủ tia xuất phát từ O giảm biên tại 1 điểm có: r = 1 do đó theo (3) ta gồm :

*

2 D số lượng giới hạn bởi

*

*
Dựa vào mẫu vẽ ta thấy: 2 tia bắt đầu từ O tiếp xúc với con đường tròn chính là 2 tia
*
,
*

Do mặt đường tròn đi qua O cần cận dưới r = 0, cận trên,: chuyển D qua tọa độ rất ta có

*

Vậy cận lấy tích phân của miền D là:

*

3. D số lượng giới hạn bởi

*

Hoàn toàn tương tự, bạn sẽ tìm được cận mang tích phân của miền D là:

*

*
4. D là miền số lượng giới hạn bởi đường tròn tâm I(a;b) , nửa đường kính R bất kỳ.

Bạn đang xem: Tích phân 2 lớp

Trong trường vừa lòng này, việc tìm kiếm ra phương trình của 2 tia OA, OB sẽ khá vất vả, thỉnh thoảng lại ko rơi vào các góc sệt biệt. Và việc tìm kiếm ra phương trình của cung lớn, cung nhỏ tuổi AB cũng chưa hẳn đơn giản.

Tuy nhiên, giả dụ tịnh tiến tâm đường tròn về góc tọa độ thì việc sẽ đơn giản và dễ dàng hơn rất nhiều vì vẫn trở về ví dụ như 1.

Với miền D bao gồm dạng này, trước hết ta đổi biến. Đặt:

*

Khi đó:

*

5. đến

*
cùng với D là miền giới hạn bởi các đường thẳng:
*

Ở đây, mặc dù miền D là miền tam giác với ta dễ dãi xác định cận số lượng giới hạn của miền D là:

*
, nhưng mà trong hàm đem tích phân là
*
nên việc lấy tích phân sẽ phức tạp. Bởi đó, cần chuyển lịch sự tọa độ cực.

Khi đó: bạn dễ dãi nhận thấy miền D giới hạn bởi 2 tia

*
, gốc O thuộc miền D nên chỉ việc tìm cận trên của r . Phụ thuộc vào hình vẽ: cận bên trên được xác định
*

Vậy:

*

Cách 2: khẳng định cận bằng phương thức đại số.

Chuyển các phương trình đường cong sang trọng tọa độ cực. Chăm chú điều kiện ban sơ

*
\left(<-\pi;\pi> \right) " class="latex" /> lúc đó: bạn sẽ có các trường hòa hợp sau:

TH1: chỉ bao gồm duy nhất đường cong

*

Trường hợp này, ta tìm điều kiện của

*
nhằm
*
. Khi đó, phối hợp điều khiếu nại
*
" class="latex" /> ta bao gồm cận của
*
; còn cận của r đã là:
*

Ví dụ 1: khẳng định cận của tích phân trong tọa độ cực nếu D là miền giới hạn bởi

*

Ta có:

*
" class="latex" />

Do đó cận mang tích phân được xác minh bởi:

*

Ví dụ 2: Xác định cận của tích phân trong tọa độ rất nếu D là miền số lượng giới hạn bởi đường cong:

*

Rõ ràng, vào trường vừa lòng này, việc vẽ miền D để xác định cận là câu hỏi làm tương đối khó khăn.

Nếu chuyển hẳn qua tọa độ cực, ta có:

*

Hay:

*

Do điểm (0;0) nằm trên đường cong, cần gốc O nằm trong vào miền lấy tích phân D. Nên:

*

Như vậy, ta phải tất cả điều kiện:

*

Nghĩa là:

*
" class="latex" /> hoặc
*
" class="latex" />

Như vậy miền D có hai miền:

*

*

TH2: nhận được 2 đường cong khẳng định bởi:

*

Với trường hợp này, ta phải tìm điều kiện của

*
để:

*

Ví dụ: D là miền số lượng giới hạn nằm ở ngoài đường tròn trung ương O, nửa đường kính 1 và bên trong đường tròn trung ương I(1;0) nửa đường kính 1.

Theo trả thiết ta có:

*

Chuyển qua tọa độ cực ta có:

*

Hay:

*

Như vậy, ta phải có điều kiện:

*

Từ đó, ta có:

*

Vậy:

*

Ngoài ra, còn một trong những trường hòa hợp khác dành riêng cho các bạn nghiên cứu thêm.

3. Đổi vươn lên là trong tích phân kép:

Cho hàm số f(x;y) liên tiếp trong miền D đóng cùng bị chặn.

Xét phép thay đổi biến:

*
(1)

Giả sử:

– D’ là tạo hình ảnh của D qua phép biến đổi (1)

– (1) xác định một song ánh trường đoản cú D’ lên D. (Nghĩa là phép đổi đổi thay biến miền D trong mp(Oxy) thành miền D’ trong mp(O’uv) sao cho mỗi điểm (u;v) nằm trong D’ chỉ tương xứng duy nhất với cùng 1 điểm (x;y) thuộc D).

Xem thêm: Tả Ca Sĩ Đang Biểu Diễn Sơn Tùng M, Tả Một Ca Sĩ Đang Biểu Diễn: ( Sơn Tùng Mt

– những hàm số x(u;v) cùng y(u;v) liên tục và gồm đạo hàm riêng tiếp tục trên D’, thỏa mãn điều kiện:

*

(J được gọi là định thức Jacobi của các hàm số x với y)

Khi đó, ta tất cả công thức đổi đổi thay sau:

*
.|J| \, dudv " class="latex" />

(Ta công nhận công thức đổi trở thành trên)

*
Ví dụ: Tính
*
cùng với D giới hạn bởi:
*
;
*
;
*
;
*

Với miền D đến như trên, nếu làm theo cách thông thường, dù đem theo phương nào, ta phải chia miền D thành nhiều miền nhỏ. Vì đó, việc giám sát sẽ phức tạp.

Dễ dàng nhận biết miền D bị giới hạn bởi 2 cặp đường thẳng tuy vậy song. Cặp thứ nhất có dạng:

*
với cặp đồ vật hai tất cả dạng:
*