CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN, TÍCH PHÂN BỘI, TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ, TÍCH PHÂN ĐƯỜNG, TÍCH PHÂN MẶT, LÝ THUYẾT TRƯỜNG.


Bạn đang xem: Tích phân mặt

CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN, TÍCH PHÂN BỘI, TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ, TÍCH PHÂN ĐƯỜNG, TÍCH PHÂN MẶT, LÝ THUYẾT TRƯỜNG. 115 437 0
Tích phân mặt GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo NỘI DUNG I Giới thiệu sơ lược lý thuyết tích phân mặt II Bài tâp tích phân măt II.1.Bài tập ngân hàng đề II.2.Bài tập ngân hàng đề SVTH: Nhóm 12 Trang Tích phân mặt GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… SVTH: Nhóm 12 Trang Tích phân mặt GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo MỤC LỤC I Giới thiệu sơ lược lý thuyết tích phân mặt………… I.1 Tích phân mặt loại …………………………………………………… …….4 I.2 Tích phân mặt loại 2……………………………………………… …………9 II Bài tâp tích phân măt……………………………………………….11 II.1.Bài tập ngân hàng đề…………………………………………………11 II.1.Bài tập ngân hàng đề…………………………………………………25 SVTH: Nhóm 12 Trang Tích phân mặt GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo I Giới thiệu sơ lược lý thuyết tích phân mặt: I.1 Tích phân mặt loại 1: Định nghĩa Cho hàm số f(x,y,z) xác định mặt S Chia S thành n mặt ∆ S1, ∆ S2, �, ∆ Sn không chồng lên diện tích tương ứng mặt ký hiệu ∆ S1, ∆ S2, �, ∆ Sn Trong mặt ∆ Si lấy điểm Mi(xi, yi, zi ) Lập tổng tích phân: Khi cho max {d(∆ Si) } -> (d(∆ Si) : đường kính mặt ∆ Si ), tổng tích phân Sn tiến tới giá trị hữu hạn không phụ thuộc cách chia mặt S cách lấy điểm Mi giới hạn gọi tích phân mặt loại (còn gọi tích phân mặt theo diện tích hàm f(x,y,z) mặt S ) ký hiệu : Khi ta nói f khả tích S Mặt S gọi mặt trơn hàm vectơ pháp tuyến liên tục khác S Đã chứng minh : f(x,y,z) liên tục mặt cong trơn S tích phân mặt loại f(x,y,z) S tồn Tính chất Từ định nghĩa ta có tính chất sau: Nếu f, g khả tích S, kf+g khả tích S : SVTH: Nhóm 12 Trang Tích phân mặt GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo Nếu S thành phần S= S1+S2 : Diện tích mặt S tính : Cách tính tích phân mặt loại Giả sử mặt S có phương trình z= z(x,y), với hàm z(x,y) liên tục có đạo hàm riêng liên tục miền mở chứa hình chiếu D S xuống mặt phẳng xy Ta tính gần ∆ Si mảnh phẳng tiếp xúc tương ứng (chương 1) ta có : Trong ∆ Di diện t ích hình chiếu ∆ Si xuống mặt phẳng xy Như ta có tổng tích phân mặt loại : Vế phải tổng tích phân kép, qua giới hạn ta có: Như tích phân mặt loại biểu diễn dạng tích phân kép hình chiếu Khi lấy f =1 ta lại có công thức tính diện tích mặt cong chương Thí dụ 1: Tính SVTH: Nhóm 12 S mặt biên vật thể Ω : x2+y2 ≤ z ≤ Trang Tích phân mặt GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo Vật thể Ω hình nón, nên S bao gồm mặt S = S1 + S2, S1 = mặt nón , S2 : mặt đáy hình nón, nhiên S1, S2 có hình chiếu mặt tròn : x2 + y2 ≤ Vì ta có : Với mặt nón S1 : z =   Với mặt đáy S2 : z = 1, ds = dxdy, Vậy: I = Thí dụ 2: Tính S mặt hình lập phương:0≤ x ≤ 1, 0≤ y ≤ 1, 0≤ z ≤ (Hình 5.1 ) SVTH: Nhóm 12 Trang Tích phân mặt GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo Do S mặt hình lập phương, xyz =0 mặt nằm mặt phẳng tọa độ ( xy, xz, yz), nên ta cần tích phân mặt a), b), c) (hình 5.1) : Mặt a) : z=1, D: hình vuông : 0≤ x,y ≤ mặt xy, nên : Tương tự ta có : Vậy I = Ứng dụng tích phân mặt loại Cho mặt S có khối lượng riêng theo diện tích δ (x,y,z) điểm (x,y,z) Khi đ� : Khối lượng mặt S : Moment tĩnh c�c mặt tọa độ mặt S là: Tâm khối lượng mặt S điểm c� tọa độ : SVTH: Nhóm 12 Trang Tích phân mặt GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo Moment quán tính trục Ox, Oy, Oz , với góc O đường thẳng ∆ là: Trong r(x,y,z) khoảng cách từ điểm M(x,y,z) tới đường thẳng ∆ Thí dụ 3: Tìm trọng tâm nửa mặt cầu tâm O(0.0,0) bán kính a, với khối lượng riêng δ = số Gọi M(x,y,z) trọng tâm nửa mặt cầu tâm O(0.0,0) bán kính a Khi có phương trình mặt cầu S : x2 + y2 + z2 = a2, z ≥ Do tính đối xứng nên x = 0, y =0 ta cần tính z theo công thức SVTH: Nhóm 12 Trang Tích phân mặt GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo S diện tích nửa mặt cầu bán kính a: S=2π a2 , D hình tròn bán kính a, hình chiếu mặt cầu mặt phẳng xy  Trọng tâm có tọa độ: ( I.2 Tích phân mặt loại 2: SVTH: Nhóm 12 Trang Tích phân mặt GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo SVTH: Nhóm 12 Trang 10 Tích phân mặt GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo I=6 Câu 11: Tính tích phân mặt loại một: I= s mặt z=4, 0, Bg: Ta có: z=4 z’x=0(z’x)2=0 z’y=0(z’y)2=0 I= Câu 12: Tính: I= s mặt 3x-3y+z-2=0, Bg: Ta có: 3x-3y+z-2=0 z=2-3x+3y (1) z’x=-3(z’x)2=9 z’y=3(z’y)2=9 Thay (1) vào I ta được: I= =2 Câu 13: Tính tích phân mặt loại I=, s mặt z=3x, Bg: Ta có: z=3x z’x=3(z’x)2=9 z’y=0(z’y)2=0 I= SVTH: Nhóm 12 Trang 28 Tích phân mặt GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo Câu 14: Tính tích phân măt loại I=, s mặt z=3x, Bg: Ta có: z=3x z’x=3(z’x)2=9 z’y=0(z’y)2=0 I= Câu 15: Tính tích phân mặt loại một: I= s mặt x+y+z=2, Bg: Ta có: x+y+z=2 x=2-y-z (1) x’y=-1(x’y)2=1 x’z=-1(x’z)2=1 Thay (1) vào I ta được: I= Câu 16:Tính I= ∫∫ ( x + y + z)ds s mặt x +2y+2z-2=0;1 ≤ x2 + y2 ≤ Ta có z= − x − 2y SVTH: Nhóm 12 (1) Trang 29 Tích phân mặt z’x = −1 GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo z"  z Z’y=-1 x= "2 y=1 ≤ ≤ Đặt x=rcos ;1 r ϕ ϕ y=rsin ;0 ≤ ϕ ≤ 2π ; ; |J|=r; Thay vao I ta có: ∫∫ ( x + y + 2( I= I=2 − x − 2y ) 2π )|j| ∫ 1+1+ d ∫ ϕ r dr=2 (2 π −0 ∫∫ (2 x + y + z)ds Câu 17:Tính I= ϕ drd ; r )( 2 )| =3 π s mặt x+4y+z-2=0;x+y ≤1 ;x ≥0 ;y ≥0 Ta có: x+4y+z-2=0 z=2-x-4y (1) z’x =1 Z’y=-4 SVTH: Nhóm 12 z" z x=1 "2 y=16 Trang 30 Tích phân mặt GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo Cố định x : Cố định y: ≤ x ≤1 ≤ y ≤ − x; ∫∫ ( x + y − − x − y) Thay (1) vào I ta I= I=2 18 1− x 0 ∫ dx ∫ dy =2 18 (y| I=2 I=2 ∫ (1 − x)dx 18 18 =2 18 1− x ∫ dx x (x- + + 16dxdy ) x )| 18 (1- )= Câu 18:Tính I= ∫∫ x − xy + s mặt y= 4x; Ta có y=4x (1) y’x =4 y" y’z=-0  x=16 y "2 y=0 ≤ ≤ Đặt x=rcos ;1 r ϕ ϕ y=rsin ;0 SVTH: Nhóm 12 ≤ ϕ ≤ 2π ; ; Trang 31 Tích phân mặt GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo |J|=r; Thay (1) vào I ta I= 17 I= 2π 0 ∫ rdr r 17 I=3 ∫∫ (4 x − x.x + 3) |J| + 16 + 0drdϕ ∫ dϕ 2π ϕ| | Câu 19:Tính I= =3 −0 17 ( ∫∫ 3x − y + z )(2 π −0 )=3 π 17 x +y s mặt 3x-2y+z-3=0; ≤1 Ta có z=3-3x+2y(1) z’x =-3 Z’y=2 z z" x=9 "2 y=4 ≤ ≤1 Đặt x=rcos ;0 r ϕ ϕ y=rsin ;0 ≤ ϕ ≤ 2π ; |J|=r; Thay (1) vào I ta được: I= ∫∫ (3x − y + − 3x + y ) SVTH: Nhóm 12 |J| 1+ + ϕ drd ; Trang 32 Tích phân mặt I=3 I=3 14 ∫ rdr GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo 2π r ∫ dϕ 0 =3 14 ( -0)(2 Câu 20:Tính I= π −0 14 ϕ| | )=3 ∫∫ xds 2π π 14 s mặt z-x=0; x+y=1;x;y Ta có z-x=0 x=z Ta có z=2-x-4y (1) z" z’x =1 z z’y=0 Cố định x : Cố định y: Ta có I = I=6 (x- 2 SVTH: Nhóm 12 "2 y=0 ≤ x ≤1 ≤ y ≤ − x; ∫∫ x x x=1 + + 0dxdy =6 )| =6 2 (1- )=3 1− x 0 ∫y ∫ dx =6 ∫ (1 − x)dx Trang 33 Tích phân mặt GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo Câu 21: Tính I= S mặt biên vật thể Ω : x2+ y2 ≤ z ≤1 Bg: Vật thể Ω hình nón nên S bao gồm mặt S=S1+S2 , S1 la mặt nón, S2 đáy mặt nón nhiên S1,S2 có hình chiếu nặt tròn x2+y2≤1 Vì ta có: I= với mặt nón S1: z= ds =  với mặt đáy S2 :Z=1 ds=dxdy I= Câu 22: Tính với S mặt phía giới hạn vật thể x2+ y2 ≤ R2 , x ≥0 ,y≥ 0, 0≤z≤ b Mặt S chia làm mặt s1, s2 hai mặt bên s3, s4 mặt phẳng xy(z=0), zy(x=0) tương ứng mặt trụ cong s5: SVTH: Nhóm 12 Trang 34 Tích phân mặt GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo Ta có tích phân cuối =0 mặt trụ có đường sinh song song trục Oz Trên mặt S1 có z=0 nên : Trên mặt S2 , z=h, nên : Vậy Câu 23: Tính , với S mặt mặt cầu x2+y2 +z2 =R2 Giải : Gọi S1, S2 nửa mặt cầu ứng với z≥ 0, z≤ Ta có S1: SVTH: Nhóm 12 Trang 35 Tích phân mặt GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo Trên S2 ta có đưa tích phân kép lấy dấu âm (do vecto pháp tuyến hướg xuống dưới) nên: Vậy : Câu 24: Tính tích phân lấy theo phía S biên hình chóp x≥ 0, y≥ z≥ 0, x+y+z ≤1 Giải: Ta có Chiếu V lên mặt phẳng Oxy tam giác x+y ≤ 1, x≥ 0, y≥0 SVTH: Nhóm 12 Trang 36 Tích phân mặt GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo Câu 25: Tính , S mặt hình lập phương 0≤ x ≤ 1, 0≤ y≤1, 0≤ z≤ mặt a,b,c Do S mặt hình lập phương xyz mặt nằm mặt phẳng tọa độ( xy, xz, yz) nên ta cần tích phân Mặt a: x≥0 , y≤ mặt xy nên Tương tự ta có SVTH: Nhóm 12 Trang 37 Tích phân mặt GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo Vậy I=3/4 Câu 26: Tính , với S mặt , nằm góc phần tám thứ Bg: Mặt (S) xác định phương trình p= q= Gọi D hình chiếu mặt S xuống mặt phẳng Oxy thì: D= Khi đó: Câu 27: Tính với S mặt cầu lấy phần nằm phía Bg: Mặt phải S phần mặt cầu có phương trình z=Gọi D hình chiếu (S) xuống mặt phẳng Oxy Khi đó: -) Câu 28: Tính I=, s phía biên hình chóp Bg: x P=xz; Q=yx; R=zy P’x=z; Q’y=x;R’z=y SVTH: Nhóm 12 Trang 38 Tích phân mặt GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo D=<(x,y): I= Câu 29: Tính s biên vật thể S=S1 S2 S1={z=; S2={z=1; Gọi D1 D2 la hình chiếu S1 S2 xuống mặt phẳng oxy D1= D2 ds=)ds+; + + Đặt x=rcos;0; y=rsin0 d Câu 30: Tính tích phân mặt loại một: I= s mặt , 0, Bg: SVTH: Nhóm 12 Trang 39 Tích phân mặt GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo Ta có: z=2-2x-2y (1) z’x=-2(z’x)2=4 z’y=-2(z’y)2=4 Ta có thay vao I ta I= I=| I= SVTH: Nhóm 12 Trang 40 Tích phân mặt GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo SVTH: Nhóm 12 Trang 41 Tích phân mặt GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo SVTH: Nhóm 12 Trang 42 <...>... 97/82:Tính tích phân mặt loại 2 :I= trong đó s là mặt trên của mặt 02;03 ;z=1 SVTH: Nhóm 12 Trang 21 Tích phân mặt GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo Bg: Chiếu s xuống mặt phẳng oxysOxy I= Câu 98/82: Tính tích phân mặt loại 2, I=, trong đó s là mặt định hướng với pháp vector đơn vị dương (2/3,-2/3,1/3) của mặt 2x-2y+z=1, Bg: Ta có: 2x-2y+z=1 z=1-2x+2y z’x=-2(z’x)2=4 z’y=2(z’y)2=4 I= Câu 99/82:Tính tích phân. .. ≥0 ,y≥ 0, 0≤z≤ b Mặt S được chia làm 5 mặt 2 đấy s1, s2 hai mặt bên s3, s4 trong các mặt phẳng xy(z=0), zy(x=0) tương ứng và mặt trụ cong s5: SVTH: Nhóm 12 Trang 34 Tích phân mặt GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo Ta có 3 tích phân cuối cùng =0 vì là các mặt trụ có đường sinh song song trục Oz Trên mặt S1 có z=0 nên : Trên mặt S2 , do z=h, nên : Vậy Câu 23: Tính , với S là mặt ngoài của mặt cầu x2+y2 +z2... 71/79: Tính tích phân mặt loại một: I= , trong đó s là mặt của hình lập phương <0,1>x<0,1>x<0,1> Bg: Chia z thành 2 mặt z=0, z=1 Ta được: I =3A=3 Câu 72/79: Tính tích phân mặt loại một: I= , trong đó s là mặt của hình lập phương <0,1>x<0,1>x<0,1> Bg: SVTH: Nhóm 12 Trang 15 Tích phân mặt GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo Chia z thành 2 mặt z=0, z=1 Ta được: I =6A=6 Câu 73/79: Tính: I= trong đó s là mặt x+y+z=2,... diện tích s của mặt SVTH: Nhóm 12 Trang 17 Tích phân mặt GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo Bg: Đặt x=rcos y=rsin |J|=r Ta có I = Câu 85/80: Tính diện tích s của mặt Bg: Ta có: Câu 89/81: Tính diện tích s của mặt Bg: Ta có: 2x-2y-z-1=0 z=2x+2y-1 (1) z’x=2(z’x)2=4 z’y=2(z’y)2=4 Thay (1) vào I= ta được: I= =3 Câu 94/81: Tính diện tích s của mặt Bg: Ta có: 2x+2y+z=1 SVTH: Nhóm 12 Trang 18 Tích phân mặt. .. được: I= =6 SVTH: Nhóm 12 Trang 11 Tích phân mặt GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo Câu 54/77: Tính tích phân mặt loại một I=, trong đó s là mặt z=2x, Bg: Ta có: z=2x z’x=2(z’x)2=4 z’y=0(z’y)2=0 I= = Câu 55/77: Tính tích phân măt loại một I=, trong đó s là mặt z=2x, Bg: Ta có: z=2x z’x=2(z’x)2=4 z’y=0(z’y)2=0 I= Câu 56/77: Tính tích phân mặt loại một: I= trong đó s là mặt x+y+z=1, Bg: Ta có: x+y+z=1... vào I ta được: I= =2 Câu 13: Tính tích phân mặt loại một I=, trong đó s là mặt z=3x, Bg: Ta có: z=3x z’x=3(z’x)2=9 z’y=0(z’y)2=0 I= SVTH: Nhóm 12 Trang 28 Tích phân mặt GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo Câu 14: Tính tích phân măt loại một I=, trong đó s là mặt z=3x, Bg: Ta có: z=3x z’x=3(z’x)2=9 z’y=0(z’y)2=0 I= Câu 15: Tính tích phân mặt loại một: I= trong đó s là mặt x+y+z=2, Bg: Ta có: x+y+z=2... Trang 12 Tích phân mặt GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo Thay (1) vào I ta được: I= Câu 57/77: Tính tích phân mặt loại một: I=, trong đó s là mặt z=2, Bg: Đặt x=rcos y=rsin |J|=r Ta có: z=2 z’x=0(z’x)2=0 z’y=0(z’y)2=0 I=2 Câu 58/77: Tính tích phân mặt loại một: I=, trong đó s là mặt s x=4, Bg: Đặt x=rcos y=rsin |J|=r Ta có: x=4 x’z=0(x’z)2=0 x’y=0(x’y)2=0 I=2 SVTH: Nhóm 12 Trang 13 Tích phân mặt. .. Tính tích phân mặt loại một: I= , trong đó s là mặt 3x+4y+z=0, Bg: Đặt x=rcos y=rsin |J|=r Ta có: 3x+4y+z=0z=-3x-4y z’x=-3(x’z)2=9 z’y=-4(z’y)2=16 I= SVTH: Nhóm 12 Trang 24 Tích phân mặt GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo I=6 Câu 4: Tính tích phân mặt loại một: I= trong đó s là mặt x+2y+z=3, Bg: Ta có: x=3-2y-z x’y=-2(x’y)2=4 x’z=-1(x’z)2=1 Vì x+2y+z=3=>I= I= I= () I=3()()=12 Câu 5: Tính tích phân. ..

Xem thêm: Tổng Hợp 800 Phrasal Verb Thông Dụng Nhất Từ A - Z, Danh Sách Các Phrasal Verbs Thông Dụng Nhất Từ A

I= Câu 10: Tính tích phân mặt loại một: I= , trong đó s là mặt 2x+4y+z=0, Bg: Đặt x=rcos y=rsin |J|=r Ta có: 2x+4y+z=0z=-2x-4y z’x=-2(x’z)2=4 z’y=-4(z’y)2=16 I= SVTH: Nhóm 12 Trang 27 Tích phân mặt GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo I=6 Câu 11: Tính tích phân mặt loại một: I= trong đó s là mặt z=4, 0, 0 Bg: Ta có: z=4 z’x=0(z’x)2=0 z’y=0(z’y)2=0 I= Câu 12: Tính: I= trong đó s là mặt 3x-3y+z-2=0,... Tính tích phân mặt loại một: I= trong đó s là mặt x+y+z=0, Bg: Ta có: z=-x-y(1) z’x=-1(x’z)2=1 z’y=-1(z’y)2=1 Thay (1) vào I ta được I= I== () I=((1-0)= Vì>=0 nên ta có I= Câu 6: Tính tích phân mặt loại một: I= SVTH: Nhóm 12 Trang 25 Tích phân mặt GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo trong đó s là mặt y=x; Bg: Ta có: z’x=1(x’z)2=1 z’y=0(z’y)2=0 I== I= () I=((1-0)= Câu 7: Tính tích phân mặt loại một: