CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN, TÍCH PHÂN BỘI, TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ, TÍCH PHÂN ĐƯỜNG, TÍCH PHÂN MẶT, LÝ THUYẾT TRƯỜNG.


Bạn đang xem: Tích phân mặt

CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN, TÍCH PHÂN BỘI, TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ, TÍCH PHÂN ĐƯỜNG, TÍCH PHÂN MẶT, LÝ THUYẾT TRƯỜNG. 115 437 0
Tích phân mặt GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo NỘI DUNG I reviews sơ lược định hướng tích phân mặt II bài bác tâp tích phân măt II.1.Bài tập ngân hàng đề II.2.Bài tập ngân hàng đề SVTH: team 12 Trang Tích phân khía cạnh GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… SVTH: đội 12 Trang Tích phân mặt GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo MỤC LỤC I ra mắt sơ lược kim chỉ nan tích phân mặt………… I.1 Tích phân mặt loại …………………………………………………… …….4 I.2 Tích phân mặt các loại 2……………………………………………… …………9 II bài xích tâp tích phân măt……………………………………………….11 II.1.Bài tập ngân hàng đề…………………………………………………11 II.1.Bài tập bank đề…………………………………………………25 SVTH: team 12 Trang Tích phân mặt GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo I ra mắt sơ lược định hướng tích phân mặt: I.1 Tích phân mặt nhiều loại 1: Định nghĩa cho hàm số f(x,y,z) xác minh mặt S phân tách S thành n phương diện ∆ S1, ∆ S2, �, ∆ Sn không ông xã lên diện tích s tương ứng mặt ký hiệu ∆ S1, ∆ S2, �, ∆ Sn Trong mặt ∆ đê mê lấy điểm Mi(xi, yi, zi ) Lập tổng tích phân: Khi mang lại max d(∆ Si) -> (d(∆ Si) : 2 lần bán kính mặt ∆ si ), tổng tích phân Sn tiến tới giá trị hữu hạn không phụ thuộc cách chia mặt S biện pháp lấy điểm Mi giới hạn gọi tích phân mặt loại (còn hotline tích phân khía cạnh theo diện tích s hàm f(x,y,z) mặt S ) cam kết hiệu : khi ta nói f khả tích S mặt S hotline mặt trơn hàm vectơ pháp tuyến liên tiếp khác S Đã chứng tỏ : f(x,y,z) liên tiếp mặt cong trơn S tích phân mặt một số loại f(x,y,z) S tồn đặc thù Từ định nghĩa ta có đặc điểm sau: trường hợp f, g khả tích S, kf+g khả tích S : SVTH: đội 12 Trang Tích phân phương diện GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo trường hợp S yếu tố S= S1+S2 : diện tích s mặt S tính : phương pháp tính tích phân mặt loại Giả sử phương diện S có phương trình z= z(x,y), cùng với hàm z(x,y) liên tiếp có đạo hàm riêng tiếp tục miền mở đựng hình chiếu D S xuống mặt phẳng xy Ta tính sát ∆ đê mê mảnh phẳng tiếp xúc khớp ứng (chương 1) ta gồm : trong ∆ Di diện t ích hình chiếu ∆ mê say xuống mặt phẳng xy Như ta có tổng tích phân mặt nhiều loại : Vế nên tổng tích phân kép, qua giới hạn ta có: Như tích phân khía cạnh loại màn trình diễn dạng tích phân kép hình chiếu Khi lấy f =1 ta lại sở hữu công thức tính diện tích mặt cong chương ví dụ 1: Tính SVTH: đội 12 S mặt biên thiết bị thể Ω : x2+y2 ≤ z ≤ Trang Tích phân khía cạnh GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo đồ thể Ω hình nón, đề xuất S bao gồm mặt S = S1 + S2, S1 = phương diện nón , S2 : mặt dưới hình nón, nhiên S1, S2 tất cả hình chiếu khía cạnh tròn : x2 + y2 ≤ vị ta bao gồm : Với phương diện nón S1 : z =   Với mặt dưới S2 : z = 1, ds = dxdy, Vậy: I = thí dụ 2: Tính S phương diện hình lập phương:0≤ x ≤ 1, 0≤ y ≤ 1, 0≤ z ≤ (Hình 5.1 ) SVTH: nhóm 12 Trang Tích phân khía cạnh GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo vày S khía cạnh hình lập phương, xyz =0 khía cạnh nằm mặt phẳng tọa độ ( xy, xz, yz), nên ta đề xuất tích phân phương diện a), b), c) (hình 5.1) : phương diện a) : z=1, D: hình vuông vắn : 0≤ x,y ≤ khía cạnh xy, cần : tương tự ta bao gồm : Vậy I = Ứng dụng tích phân mặt các loại Cho phương diện S có trọng lượng riêng theo diện tích s δ (x,y,z) điểm (x,y,z) lúc đ� : trọng lượng mặt S : Moment tĩnh c�c khía cạnh tọa độ phương diện S là: Tâm trọng lượng mặt S điểm c� tọa độ : SVTH: đội 12 Trang Tích phân mặt GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo Moment tiệm tính trục Ox, Oy, Oz , cùng với góc O đường thẳng ∆ là: vào r(x,y,z) khoảng cách từ điểm M(x,y,z) tới mặt đường thẳng ∆ thí dụ 3: Tìm giữa trung tâm nửa mặt ước tâm O(0.0,0) nửa đường kính a, với cân nặng riêng δ = số điện thoại tư vấn M(x,y,z) trung tâm nửa mặt mong tâm O(0.0,0) nửa đường kính a Khi có phương trình mặt ước S : x2 + y2 + z2 = a2, z ≥ vị tính đối xứng đề nghị x = 0, y =0 ta nên tính z theo cách làm SVTH: nhóm 12 Trang Tích phân khía cạnh GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo S diện tích nửa mặt cầu bán kính a: S=2π a2 , D hình tròn trụ bán kính a, hình chiếu mặt ước mặt phẳng xy  giữa trung tâm có tọa độ: ( I.2 Tích phân mặt loại 2: SVTH: team 12 Trang Tích phân khía cạnh GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo SVTH: team 12 Trang 10 Tích phân phương diện GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo I=6 Câu 11: Tính tích phân mặt các loại một: I= s mặt z=4, 0, Bg: Ta có: z=4 z’x=0(z’x)2=0 z’y=0(z’y)2=0 I= Câu 12: Tính: I= s phương diện 3x-3y+z-2=0, Bg: Ta có: 3x-3y+z-2=0 z=2-3x+3y (1) z’x=-3(z’x)2=9 z’y=3(z’y)2=9 nuốm (1) vào I ta được: I= =2 Câu 13: Tính tích phân mặt nhiều loại I=, s khía cạnh z=3x, Bg: Ta có: z=3x z’x=3(z’x)2=9 z’y=0(z’y)2=0 I= SVTH: nhóm 12 Trang 28 Tích phân mặt GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo Câu 14: Tính tích phân măt nhiều loại I=, s mặt z=3x, Bg: Ta có: z=3x z’x=3(z’x)2=9 z’y=0(z’y)2=0 I= Câu 15: Tính tích phân mặt các loại một: I= s phương diện x+y+z=2, Bg: Ta có: x+y+z=2 x=2-y-z (1) x’y=-1(x’y)2=1 x’z=-1(x’z)2=1 thế (1) vào I ta được: I= Câu 16:Tính I= ∫∫ ( x + y + z)ds s mặt x +2y+2z-2=0;1 ≤ x2 + y2 ≤ Ta có z= − x − 2y SVTH: nhóm 12 (1) Trang 29 Tích phân mặt z’x = −1 GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo z"  z Z’y=-1 x= "2 y=1 ≤ ≤ Đặt x=rcos ;1 r ϕ ϕ y=rsin ;0 ≤ ϕ ≤ 2π ; ; |J|=r; cố gắng vao I ta có: ∫∫ ( x + y + 2( I= I=2 − x − 2y ) 2π )|j| ∫ 1+1+ d ∫ ϕ r dr=2 (2 π −0 ∫∫ (2 x + y + z)ds Câu 17:Tính I= ϕ drd ; r )( 2 )| =3 π s phương diện x+4y+z-2=0;x+y ≤1 ;x ≥0 ;y ≥0 Ta có: x+4y+z-2=0 z=2-x-4y (1) z’x =1 Z’y=-4 SVTH: nhóm 12 z" z x=1 "2 y=16 Trang 30 Tích phân mặt GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo cố định x : thắt chặt và cố định y: ≤ x ≤1 ≤ y ≤ − x; ∫∫ ( x + y − − x − y) thay (1) vào I ta I= I=2 18 1− x 0 ∫ dx ∫ dy =2 18 (y| I=2 I=2 ∫ (1 − x)dx 18 18 =2 18 1− x ∫ dx x (x- + + 16dxdy ) x )| 18 (1- )= Câu 18:Tính I= ∫∫ x − xy + s phương diện y= 4x; Ta bao gồm y=4x (1) y’x =4 y" y’z=-0  x=16 y "2 y=0 ≤ ≤ Đặt x=rcos ;1 r ϕ ϕ y=rsin ;0 SVTH: team 12 ≤ ϕ ≤ 2π ; ; Trang 31 Tích phân mặt GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo |J|=r; cố kỉnh (1) vào I ta I= 17 I= 2π 0 ∫ rdr r 17 I=3 ∫∫ (4 x − x.x + 3) |J| + 16 + 0drdϕ ∫ dϕ 2π ϕ| | Câu 19:Tính I= =3 −0 17 ( ∫∫ 3x − y + z )(2 π −0 )=3 π 17 x +y s phương diện 3x-2y+z-3=0; ≤1 Ta gồm z=3-3x+2y(1) z’x =-3 Z’y=2 z z" x=9 "2 y=4 ≤ ≤1 Đặt x=rcos ;0 r ϕ ϕ y=rsin ;0 ≤ ϕ ≤ 2π ; |J|=r; rứa (1) vào I ta được: I= ∫∫ (3x − y + − 3x + y ) SVTH: team 12 |J| 1+ + ϕ drd ; Trang 32 Tích phân mặt I=3 I=3 14 ∫ rdr GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo 2π r ∫ dϕ 0 =3 14 ( -0)(2 Câu 20:Tính I= π −0 14 ϕ| | )=3 ∫∫ xds 2π π 14 s mặt z-x=0; x+y=1;x;y Ta tất cả z-x=0 x=z Ta bao gồm z=2-x-4y (1) z" z’x =1 z z’y=0 cố định và thắt chặt x : cố định y: Ta gồm I = I=6 (x- 2 SVTH: đội 12 "2 y=0 ≤ x ≤1 ≤ y ≤ − x; ∫∫ x x x=1 + + 0dxdy =6 )| =6 2 (1- )=3 1− x 0 ∫y ∫ dx =6 ∫ (1 − x)dx Trang 33 Tích phân phương diện GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo Câu 21: Tính I= S phương diện biên đồ vật thể Ω : x2+ y2 ≤ z ≤1 Bg: đồ thể Ω hình nón buộc phải S bao hàm mặt S=S1+S2 , S1 la phương diện nón, S2 đáy mặt nón nhiên S1,S2 tất cả hình chiếu nặt tròn x2+y2≤1 vì chưng ta có: I= với mặt nón S1: z= ds =  với dưới mặt đáy S2 :Z=1 ds=dxdy I= Câu 22: Tính với S phương diện phía số lượng giới hạn vật thể x2+ y2 ≤ R2 , x ≥0 ,y≥ 0, 0≤z≤ b phương diện S chia thành mặt s1, s2 nhì mặt bên s3, s4 phương diện phẳng xy(z=0), zy(x=0) khớp ứng mặt trụ cong s5: SVTH: nhóm 12 Trang 34 Tích phân khía cạnh GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo Ta gồm tích phân cuối =0 phương diện trụ gồm đường sinh tuy vậy song trục Oz xung quanh S1 gồm z=0 yêu cầu : trên mặt S2 , z=h, phải : Vậy Câu 23: Tính , với S mặt mặt mong x2+y2 +z2 =R2 Giải : gọi S1, S2 nửa mặt ước ứng cùng với z≥ 0, z≤ Ta gồm S1: SVTH: nhóm 12 Trang 35 Tích phân mặt GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo bên trên S2 ta có đưa tích phân kép lấy vệt âm (do vecto pháp đường hướg xuống dưới) nên: Vậy : Câu 24: Tính tích phân mang theo phía S biên hình chóp x≥ 0, y≥ z≥ 0, x+y+z ≤1 Giải: Ta gồm Chiếu V lên phương diện phẳng Oxy tam giác x+y ≤ 1, x≥ 0, y≥0 SVTH: nhóm 12 Trang 36 Tích phân khía cạnh GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo Câu 25: Tính , S mặt hình lập phương 0≤ x ≤ 1, 0≤ y≤1, 0≤ z≤ khía cạnh a,b,c vị S phương diện hình lập phương xyz phương diện nằm khía cạnh phẳng tọa độ( xy, xz, yz) bắt buộc ta đề xuất tích phân mặt a: x≥0 , y≤ khía cạnh xy nên tương tự như ta tất cả SVTH: nhóm 12 Trang 37 Tích phân khía cạnh GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo Vậy I=3/4 Câu 26: Tính , với S mặt , nằm góc phần tám lắp thêm Bg: phương diện (S) khẳng định phương trình p= q= gọi D hình chiếu khía cạnh S xuống khía cạnh phẳng Oxy thì: D= khi đó: Câu 27: Tính cùng với S mặt ước lấy phần nằm phía Bg: Mặt đề nghị S phần khía cạnh cầu gồm phương trình z=Gọi D hình chiếu (S) xuống mặt phẳng Oxy lúc đó: -) Câu 28: Tính I=, s phía biên hình chóp Bg: x P=xz; Q=yx; R=zy P’x=z; Q’y=x;R’z=y SVTH: team 12 Trang 38 Tích phân mặt GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo D=<(x,y): I= Câu 29: Tính s biên đồ thể S=S1 S2 S1={z=; S2={z=1; hotline D1 D2 la hình chiếu S1 S2 xuống phương diện phẳng oxy D1= D2 ds=)ds+; + + Đặt x=rcos;0; y=rsin0 d Câu 30: Tính tích phân mặt một số loại một: I= s phương diện , 0, Bg: SVTH: nhóm 12 Trang 39 Tích phân khía cạnh GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo Ta có: z=2-2x-2y (1) z’x=-2(z’x)2=4 z’y=-2(z’y)2=4 Ta tất cả thay vao I ta I= I=| I= SVTH: đội 12 Trang 40 Tích phân khía cạnh GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo SVTH: team 12 Trang 41 Tích phân khía cạnh GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo SVTH: đội 12 Trang 42 <...>... 97/82:Tính tích phân mặt loại 2 :I= trong đó s là mặt trên của phương diện 02;03 ;z=1 SVTH: đội 12 Trang 21 Tích phân khía cạnh GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo Bg: Chiếu s xuống phương diện phẳng oxysOxy I= Câu 98/82: Tính tích phân mặt một số loại 2, I=, trong đó s là mặt kim chỉ nan với pháp vector đơn vị chức năng dương (2/3,-2/3,1/3) của phương diện 2x-2y+z=1, Bg: Ta có: 2x-2y+z=1 z=1-2x+2y z’x=-2(z’x)2=4 z’y=2(z’y)2=4 I= Câu 99/82:Tính tích phân. .. ≥0 ,y≥ 0, 0≤z≤ b mặt S được chia làm 5 phương diện 2 đấy s1, s2 nhị mặt bên s3, s4 trong các mặt phẳng xy(z=0), zy(x=0) tương xứng và phương diện trụ cong s5: SVTH: nhóm 12 Trang 34 Tích phân phương diện GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo Ta tất cả 3 tích phân sau cùng =0 vì là những mặt trụ bao gồm đường sinh tuy vậy song trục Oz trên mặt S1 tất cả z=0 đề xuất : cùng bề mặt S2 , vị z=h, phải : Vậy Câu 23: Tính , cùng với S là mặt ngoại trừ của mặt cầu x2+y2 +z2... 71/79: Tính tích phân mặt nhiều loại một: I= , trong những số đó s là khía cạnh của hình lập phương <0,1>x<0,1>x<0,1> Bg: phân chia z thành 2 khía cạnh z=0, z=1 Ta được: I =3A=3 Câu 72/79: Tính tích phân mặt nhiều loại một: I= , trong đó s là phương diện của hình lập phương <0,1>x<0,1>x<0,1> Bg: SVTH: team 12 Trang 15 Tích phân mặt GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo phân chia z thành 2 phương diện z=0, z=1 Ta được: I =6A=6 Câu 73/79: Tính: I= trong những số ấy s là mặt x+y+z=2,... Diện tích s của mặt SVTH: đội 12 Trang 17 Tích phân mặt GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo Bg: Đặt x=rcos y=rsin |J|=r Ta tất cả I = Câu 85/80: Tính diện tích s của phương diện Bg: Ta có: Câu 89/81: Tính diện tích s của phương diện Bg: Ta có: 2x-2y-z-1=0 z=2x+2y-1 (1) z’x=2(z’x)2=4 z’y=2(z’y)2=4 cố gắng (1) vào I= ta được: I= =3 Câu 94/81: Tính diện tích s của khía cạnh Bg: Ta có: 2x+2y+z=1 SVTH: team 12 Trang 18 Tích phân mặt. .. được: I= =6 SVTH: nhóm 12 Trang 11 Tích phân mặt GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo Câu 54/77: Tính tích phân mặt một số loại một I=, trong đó s là mặt z=2x, Bg: Ta có: z=2x z’x=2(z’x)2=4 z’y=0(z’y)2=0 I= = Câu 55/77: Tính tích phân măt một số loại một I=, trong số đó s là khía cạnh z=2x, Bg: Ta có: z=2x z’x=2(z’x)2=4 z’y=0(z’y)2=0 I= Câu 56/77: Tính tích phân mặt loại một: I= trong số đó s là khía cạnh x+y+z=1, Bg: Ta có: x+y+z=1... Vào I ta được: I= =2 Câu 13: Tính tích phân mặt loại một I=, trong số ấy s là phương diện z=3x, Bg: Ta có: z=3x z’x=3(z’x)2=9 z’y=0(z’y)2=0 I= SVTH: đội 12 Trang 28 Tích phân mặt GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo Câu 14: Tính tích phân măt các loại một I=, trong số đó s là khía cạnh z=3x, Bg: Ta có: z=3x z’x=3(z’x)2=9 z’y=0(z’y)2=0 I= Câu 15: Tính tích phân mặt nhiều loại một: I= trong các số đó s là phương diện x+y+z=2, Bg: Ta có: x+y+z=2... Trang 12 Tích phân mặt GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo thế (1) vào I ta được: I= Câu 57/77: Tính tích phân mặt loại một: I=, trong các số ấy s là khía cạnh z=2, Bg: Đặt x=rcos y=rsin |J|=r Ta có: z=2 z’x=0(z’x)2=0 z’y=0(z’y)2=0 I=2 Câu 58/77: Tính tích phân mặt loại một: I=, trong đó s là phương diện s x=4, Bg: Đặt x=rcos y=rsin |J|=r Ta có: x=4 x’z=0(x’z)2=0 x’y=0(x’y)2=0 I=2 SVTH: đội 12 Trang 13 Tích phân mặt. .. Tính tích phân mặt nhiều loại một: I= , trong số ấy s là khía cạnh 3x+4y+z=0, Bg: Đặt x=rcos y=rsin |J|=r Ta có: 3x+4y+z=0z=-3x-4y z’x=-3(x’z)2=9 z’y=-4(z’y)2=16 I= SVTH: team 12 Trang 24 Tích phân khía cạnh GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo I=6 Câu 4: Tính tích phân mặt các loại một: I= trong những số ấy s là mặt x+2y+z=3, Bg: Ta có: x=3-2y-z x’y=-2(x’y)2=4 x’z=-1(x’z)2=1 vì chưng x+2y+z=3=>I= I= I= () I=3()()=12 Câu 5: Tính tích phân. ..

Xem thêm: Tổng Hợp 800 Phrasal Verb Thông Dụng Nhất Từ A - Z, Danh Sách Các Phrasal Verbs Thông Dụng Nhất Từ A

I= Câu 10: Tính tích phân mặt loại một: I= , trong số đó s là khía cạnh 2x+4y+z=0, Bg: Đặt x=rcos y=rsin |J|=r Ta có: 2x+4y+z=0z=-2x-4y z’x=-2(x’z)2=4 z’y=-4(z’y)2=16 I= SVTH: đội 12 Trang 27 Tích phân phương diện GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo I=6 Câu 11: Tính tích phân mặt một số loại một: I= trong số ấy s là phương diện z=4, 0, 0 Bg: Ta có: z=4 z’x=0(z’x)2=0 z’y=0(z’y)2=0 I= Câu 12: Tính: I= trong những số đó s là phương diện 3x-3y+z-2=0,... Tính tích phân mặt loại một: I= trong các số ấy s là phương diện x+y+z=0, Bg: Ta có: z=-x-y(1) z’x=-1(x’z)2=1 z’y=-1(z’y)2=1 cố (1) vào I ta được I= I== () I=((1-0)= Vì>=0 yêu cầu ta bao gồm I= Câu 6: Tính tích phân mặt các loại một: I= SVTH: nhóm 12 Trang 25 Tích phân khía cạnh GVHD: Ths Phạm Hoàng Ngọc Thảo trong số đó s là khía cạnh y=x; Bg: Ta có: z’x=1(x’z)2=1 z’y=0(z’y)2=0 I== I= () I=((1-0)= Câu 7: Tính tích phân mặt các loại một: