Tính diện tích s hình phẳng là một trong những ứng dụng quan trọng của tích phân trong chương trình toán phổ thông. Vậy diện tích s hình phẳng là gì? các dạng bài bác tập tìm diện tích s hình phẳng? bí quyết tìm diện tích s hình phẳng như nào? Trong nội dung bài viết dưới phía trên magmareport.net sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức và kỹ năng về chủ đề này nhé!
Mục lục
2 phương pháp tính diện tích s hình phẳng cơ bản3 công thức tính diện tích s hình phẳng nâng cao3.2 diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi parabolDiện tích hình phẳng là gì?
Trong cuộc sống thực tiễn cũng giống như khoa học tập kĩ thuật thì bọn họ cần yêu cầu tính diện tích của rất nhiều hình phẳng phức hợp mà các công thức thường thì không thể đo lường và tính toán được. Ví dụ: diện tích s của mặt hồ tự nhiên, thiết diện cắt ngang của một loại sông… vì thế ta cần áp dụng tích phân để có thể tính được diện tích của các hình phức tạp đó.
Bạn đang xem: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường
Công thức tính diện tích s hình phẳng cơ bản
Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ gia dụng thị hàm số và các trục tọa độ
Nếu hàm số (y=f(x)) thường xuyên trên đoạn (
(S=int_a^b |f(x)|dx)
Ví dụ:
Tính diện tích ( S ) của hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ thị hàm số ( y=x^3 -x ) , mặt đường thẳng ( x=2 ), trục tung với trục hoành
Cách giải:
Vì trục tung có phương trình tọa độ là ( x=0 ) nên áp dụng công thức nêu bên trên ta gồm :
(S=int_0^2 |x^3-x|dx)
Vì (left{eginmatrix x^3-x leq 0 hspace5mm forall hspace5mm 0 leq x leq 1\ x^3-x geq 0 hspace5mm forall hspace5mm 1 leq x leq 2 endmatrix ight.)
Nên ta có :
(S = int_0^1(x-x^3)dx + int_1^2 (x^3-x)dx)
(S = (fracx^22-fracx^44) igg|_0^1 + (fracx^44-fracx^22) igg|_1^2)
(S = frac14 + frac94 =frac52) (đvdt)
Công thức bao quát tính diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi thứ thị
Công thức tìm diện tích s hình phẳng giới hạn bởi ( y=f(x) ) , ( y=g(x) ) liên tiếp trên (
(S=int_a^b |f(x)-g(x)|dx)
Ví dụ:
Tìm diện tích s hình phẳng ( S ) được số lượng giới hạn bởi trang bị thị hai hàm số ( y= x^2+2 ) cùng ( y = 3x )
Cách giải:
Đầu tiên, ta đang hoành độ giao điểm của nhì hàm số trên bằng phương pháp giải phương trình :
( x^2 +2 =3x )
(Leftrightarrow x^2-3x+2 =0 Leftrightarrow (x-1)(x-2) =0)
(Leftrightarrow left{eginmatrix x=1\ x=2 endmatrix ight.)
Vậy hình phẳng ( S ) được số lượng giới hạn bởi vật thị của nhì hàm số ( y= x^2+2 ) , ( y = 3x ) và hai đường thẳng ( x=1 ) , ( x=2 )
Áp dụng công thức trên ta có:
(S= int_1^2 | x^2-3x+2|dx)
(=int_1^2(3x-x^2-2)dx)
(=(frac3x^22 -fracx^33 -2x) igg|_1^2=frac16) (đvdt)
Công thức tính diện tích s hình phẳng nâng cao
Công thức tính diện tích s hình phẳng giới hạn bởi 3 hàm số
Bài toán để ra: Tính diện tích s hình phẳng (S) được giới hạn bởi vật dụng thị tía hàm số : (y=f(x) ;y=g(x); y=h(x))
Các cách làm như sau:
Bước 2: diện tích hình phẳng (S) sẽ tiến hành tính theo bí quyết :(S = int_x_1^x_2|u(x)|dx + int_x_2^x_3 |v(x)| dx)
Với (u(x)) là hàm số của phương trình tìm kiếm ( x_1 )
( v(x) ) là hàm số của phương trình tìm kiếm ( x_2 )
Ví dụ:
Tính diện tích s hình phẳng S được số lượng giới hạn bởi ba hàm số : ( y= 3^x ) , ( y= 4-x ) , ( y=1 )
Cách giải:
Ta tìm kiếm hoành độ giao điểm của từng cặp hàm số :
(left{eginmatrix 3^x = 4-x Rightarrow x=1\ 3^x =1 Rightarrow x=0 \ 4-x = 1 Rightarrow x=3 endmatrix ight.)
Vậy vận dụng công thức trên ta tất cả :
(S= int_0^1|3^x -1 |dx + int_1^3 |4-x-1|dx)
(= (frac3^xln 3-x) igg |_0^1 + (3x-fracx^22)igg |_1^3)
(= (frac3^xln 3-x) igg |_0^1 + (3x-fracx^22)igg |_1^3 =frac2ln 3+1) (đvdt)
Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi parabol
Diện tích hình phẳng bị giới hạn bởi parabol và mặt đường thẳngCho Parabol ( y = ax^2 + bx +c ) với ( b^2-4ac >0 ). Lúc đó diện tích s hình phẳng ( S ) được số lượng giới hạn bởi thứ thị của Parabol cùng với trục hoành được xem như sau :
(S=int_x_1^x_2(ax^2+bx+c)dx)
Với ( x_1;x_2 ) là nhị nghiệm của Parabol
Bằng cách biến đổi đơn giản thực hiện định lí Vi-ét, từ phương pháp trên ta sẽ sở hữu được :
(S^2=frac(b^2-4ac)^336a^4) tốt (S=frac(b^2-4ac)sqrtb^2-4ac6a^2)
Công thức này thường được áp dụng trong các bài toán trắc nghiệm yêu cầu giám sát nhanh!
Ví dụ:
Tính diện tích hình phẳng ( S ) được giới hản bởi vì Parabol ( y=x^2-5x +6 ) và trục hoành
Cách giải:
Áp dụng bí quyết trên cùng với ( a=1 : b= -5 ; c=6 ) ta có:
(S=frac(b^2-4ac)sqrtb^2-4ac6a^2 = frac16) (đvdt)
Tính diện tích s hình phẳng giới hạn bởi parabol và con đường trònVới dạng toán này , ta cần vẽ hình sơ bộ để nhấn diện được hình phẳng đề nghị tính diện tích s rồi sau đó sử dụng các công thức cơ phiên bản nêu bên trên để đo lường và tính toán thích hợp.
Chú ý: cùng với dạng bài này khi bắt buộc tính tích phân họ sẽ cần sử dụng cách thức đổi đổi mới số nhằm tính được tích phân phải tìm.
Ví dụ:
Tìm diện tích hình phẳng ( S ) được giới hạn bởi Parabol (y= sqrt2x) và đường tròn (x^2 + y^2 =8)
Cách giải:
Hoành độ giao điểm của Parabol và mặt đường tròn là nghiệm của hệ phương trình :
(left{eginmatrix y=sqrt2x\ x^2+y^2=8 endmatrix ight.) với ( x geq 0 )
(Rightarrow x^2+2x-8=0 Rightarrow (x-2)(x+4)=0)
(Rightarrow left<eginarrayl x=2 \ x=-4 endarray ight.)
Vì ( x geq 0 ) cần ( x=2 )
Hoành độ giao điểm của mặt đường tròn cùng trục hoành là điểm (x= 2sqrt2) cùng (x= -2sqrt2)
Qua mẫu vẽ ta thấy ( S ) được chia thành hai phần gồm:
( S_1 ) là phần tô màu vàng
( S_2 ) là phần tô màu đỏ
( S= S_1 + S_2 )
( S_1 ) là hình phẳng được số lượng giới hạn bởi Parabol (y= sqrt2x) và hai tuyến đường thẳng ( x=0 ; x=2 ) . Vậy
(S_1 = 2int_0^2sqrt2x hspace2mm dx = 2. frac2sqrt23 xsqrtx igg |_0^2 =frac83)
( S_2 ) là hình phẳng được số lượng giới hạn bởi con đường tròn (x^2 + y^2 =8) và hai tuyến đường thẳng (x=2 ; x=2sqrt2). Vậy
(S_2= 2 int_2^2sqrt2 sqrtx^2-8 hspace2mm dx)
Đặt (x= 2sqrt2sin t) cùng với (0 leq t leq fracpi2)
(Rightarrow dx = 2sqrt2 cos t hspace2mmdt)
(Rightarrow S_2 =2 int_fracpi4^fracpi22sqrt2.sqrt8-8 sin ^2 t. cos t hspace2mm dt)
(=16int_fracpi4^fracpi2cos^2t hspace2mm dt)
(=8int_fracpi4^fracpi2 (1+ cos 2t)dt)
(=8(t+fracsin 2t2) igg |_fracpi4^fracpi2 =2pi -4)
Vậy (S=S_1 + S_2 = 2pi + frac43) (đvdt)
Chú ý: Qua các ví dụ trên ta nhận biết công thức tính diện tích tổng quát (S=int_a^b |f(x)-g(x)|dx) được sử dụng ở số đông các bài toán. Vị vậy đấy là một phương pháp cơ bạn dạng quan trọng mà chúng ta cần ghi nhớ.
Bài viết trên trên đây của magmareport.net đã giúp đỡ bạn tổng hợp lý thuyết về những công thức diện tích hình phẳng bởi tích phân cũng giống như một số dạng bài tập tính diện tích hình phẳng.
Xem thêm: Giải Bài Tập Tiếng Anh Mai Lan Hương Lớp 8, Bài Tập Tiếng Anh 8 Tập 2 Có Đáp Án
Hi vọng những kiến thức trong nội dung bài viết sẽ giúp ích cho các bạn trong quy trình học tập. Chúc bạn luôn luôn học tốt!