Để tính đạo hàm của hàm phân thức hữu tỉ thì các bạn sử dụng bình thường một công thức:
$left(dfracuv ight)’=dfracu’.v-u.v’v^2$
Một số dạng đặc trưng của hàm phân thức:
$ left (dfrac1x ight)’=dfrac-1x^2$; $ left (dfrac1u ight)’=dfrac-u’u^2$
Tuy nhiên cũng có một số hàm phân thức bạn cũng có thể sử dụng những cách làm tính đạo hàm nhanh. Thầy đã nói cụ thể trong từng dạng dưới nhé.
1. Đạo hàm của hàm phân thức bậc 1/ bậc 1
$y=dfracax+bcx+d$
Công thức tính nhanh đạo hàm: $y’=dfracad-bc(cx+d)^2$
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số sau:a. $y=dfrac2x+34x+2$ b. $y=dfrac-x-22x+5$
Hướng dẫn:
a. $y=dfrac2x+34x+2$
=> $y’=dfrac(2x+3)’.(4x+2)-(2x+3).(4x+2)’(4x+2)^2$
=> $y’=dfrac2(2x+2)-(2x+3).4(4x+2)^2$
=> $y’=dfrac8x+4-8x-12(4x+2)^2$
=> $y’=dfrac-8(4x+2)^2$
Sử dụng công thức tính cấp tốc đạo hàm:
$y’=dfrac2.2-3.4(4x+2)^2$ => $y’=dfrac-8(4x+2)^2$
b. $y=dfrac-x-22x+5$
=> $y’=dfrac(-x-2)’.(2x+5)-(-x-2)(2x+5)’(2x+5)^2$
=> $y’=dfrac-1.(2x+5)-(-x-2).2(2x+5)^2$
=> $y’=dfrac-2x-5+2x+4(2x+5)^2$
=> $y’=dfrac-1(2x+5)^2$
Sử dụng phương pháp nhanh tính đạo hàm:
$y= dfrac-x-22x+5$ => $y’=dfrac(-1).5-(-2).2(2x+5)^2=dfrac-5+4(2x+5)^2=dfrac-1(2x+5)^2$
2. Đạo hàm của hàm phân thức bậc 2/ bậc 1
$y=dfracax^2+bx+cdx+e$
Công thức tính nhanh đạo hàm:$y=dfracadx^2+2aex+be-cd(dx+e)^2$
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số sau:a. $y=dfracx^2+2x+34x+5$b. $y=dfrac2x^2+3x-4-5x+6$
Hướng dẫn:
a. $y’=dfrac(x^2+2x+3)’.(4x+5)-(x^2+2x+3)(4x+5)’(4x+5)^2$
=> $y’=dfrac(2x+2).(4x+5)-(x^2+2x+3).4(4x+5)^2$
=> $y’=dfrac8x^2+18x+10-4x^2-8x-12(4x+5)^2$
=> $y’=dfrac4x^2+10x-2(4x+5)^2$
Sử dụng bí quyết giải nhanh đạo hàm:
$y’=dfrac1.4x^2+2.1.5x+2.5-3.4(4x+5)^2=dfrac4x^2+10x-2(4x+5)^2$
b. $y’=dfrac(2x^2+3x-4)’.(-5x+6)-(2x^2+3x-4).(-5x+6)’(-5x+6)^2$
=> $y’=dfrac(4x+3).(-5x+6)-(2x^2+3x-4).(-5)(-5x+6)^2$
=> $y’=dfrac-20x^2+9x+18-(-10x^2-15x+20)(-5x+6)^2$
=> $y’=dfrac-20x^2+9x+18+10x^2+15x-20)(-5x+6)^2$
=> $y’=dfrac-10x^2+24x-2(-5x+6)^2$
Sử dụng công thức tính nhanh đạo hàm:
$y’=dfrac2.(-5)x^2+2.2.6x+3.6-(-4)(-5)(-5x+6)^2=dfrac-10x^2+24x-2(-5x+6)^2$
3. Đạo hàm của hàm phân thức bậc 2/ bậc 2
$y=dfraca_1x^2+b_1x+c_1a_2x^2+b_2x+c_2$
Công thức tính cấp tốc đạo hàm của hàm phân thức bậc 2/ bậc 2
=> $y’=dfrac(a_1b_2-a_2b_1)x^2+2(a_1c_2-a_2c_1)x+b_1c_2-b_2c_1(a_2x^2+b_2x+c_2)^2$
Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số sau:a. $y=dfracx^2+x-2-x^2+3x+2$
Ta có:
$y’=dfrac(x^2+x-2)’.(-x^2+3x+2)-(x^2+x-2).(-x^2+3x+2)’(-x^2+3x+2)^2$
=> $y’=dfrac(2x+1).(-x^2+3x+2)-(x^2+x-2).(-2x+3)(-x^2+3x+2)^2$
=> $y’=dfrac-2x^3+6x^2+4x-x^2+3x+2+2x^3-3x^2+2x^2-3x-4x+6(-x^2+3x+2)^2$
=> $y’=dfrac4x^2+8(-x^2+3x+2)^2$
Sử dụng cách làm tính nhanh đạo hàm:
$y’=dfrac<1.3-1.(-1)>x^2+2<1.2-(-2)(-1)>x+<1.2-(-2).3> (-x^2+3x+2)^2 $
=> $y’=dfrac4x^2+8(-x^2+3x+2)^2$
4. Một số trong những trường hợp đặc trưng khi tính đạo hàm của hàm phân thức
Ví dụ 4: Tính đạo hàm những hàm số sau:a. $y=dfrac2x^2-2x+3$b. $y=left(dfracx+23x-1 ight)^3$
Hướng dẫn:
a. $y’=dfrac-2.(x^2-2x+3)’(x^2-2x+3)^2=dfrac-2(2x-2)(x^2-2x+3)^2$
b. $y’=3.left(dfracx+23x-1 ight)^2left(dfracx+23x-1 ight)’= 3.left(dfracx+23x-1 ight)^2.dfrac-7(3x-1)^2 $
(ý này các bạn áp dụng phương pháp đạo hàm $u^alpha=alpha.u^alpha-1.u’$ nhé)
Bài giảng trên cũng khá chi tiết và đầy đủ về các dạng toán tính đạo hàm của một số trong những hàm phân thức hữu tỉ.
Bạn đang xem: Tính nhanh đạo hàm
Xem thêm: Soạn Ngữ Văn 8 Bài Câu Phủ Định (Ngắn Gọn), Soạn Bài Câu Phủ Định
Nói chúng để tính được đạo hàm dạng này thì các bạn chỉ cần thực hiện chung nhất một cách làm $(dfracuv)’$ là có thể tính dễ chịu rồi. Nếu chúng ta có thêm phương pháp tính nào giỏi thì hãy chia sẻ dưới khung comment nhé.