Trong bài này sẽ ôn lại kiến thức cho những em về số lượng giới hạn của hàm số, giới hạn hữu hạn, số lượng giới hạn vô cực, các giới hạn quan trọng và bài các bài toán search giới hạn


Các em cần nắm vững kiến thức lý thuyết về số lượng giới hạn của hàm số để áp dụng linh hoạt vào cụ thể từng dạng toán gắng thể.

Bạn đang xem: Toán 11 giới hạn của hàm số

A. Nắm tắt triết lý về giới hạn của hàm số

I. Giới hạn hữu hạn

1. Giới hạn đặc biệt

*

*
(c: hằng số)

2. Định lý

a) Nếu:  và 

*
 thì:

 

*

 

*

 

*

 

*

b) giả dụ

*
 và  thì:

 

*
 và 
*

c) Nếu  thì 

*

II. Số lượng giới hạn vô cực. Giới hạn ở vô cực

1. Giới hạn đặc biệt

*

2. Định lý:

*

III. Giới hạn 1 bên

 

*

* khi tính số lượng giới hạn có một trong những dạng vô định: 

*
 thì yêu cầu tìm biện pháp khử dạng vô định.

* Chú ý: Đối với những hàm lượng giác thì vận dụng tương tự với giới hạn khi x tiến tới cực kỳ của sinx/x =1

*

* ví dụ như 1: Tính giới hạn:

*

* bài tập vận dụng tìm giới hạn

¤ bài bác tập 1: Tìm những giới hạn sau

*

¤ bài bác tập 2: Tìm các giới hạn sau

*

 

*

* ví dụ 2: Tính những giới hạn

*

* bài tập áp dụng tìm giới hạn

¤ bài bác tập 1: Tìm những giới hạn sau

*

¤ Bài tập 2: Tìm những giới hạn sau

*

 

*

 * Phương pháp: Áp dụng 2 quy tắc giới hạn vô cực (Quy tắc 1 & Quy tắc 2)

* ví dụ như 3: Tính giới hạn

*

* bài xích tập áp dụng tìm giới hạn

¤ bài bác tập 1: Tìm những giới hạn sau:

*

Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau:

*

 

*

 * Phương pháp:

 - Nhóm những nhân tử chung: x - x0

 - Nhân thêm lượng liên hợp

 - Thêm, giảm số hạng vắng.

a)  với  là những đa thức cùng

 Ta phân tích cả tử và chủng loại thành nhân tử cùng rút gọn.

* lấy một ví dụ 4: Tính giới hạn:

• 

*
 
*

b)  với  và  là các biểu thức chứa căn đồng bậc.

- Ta sử dụng những hằng đẳng thức nhằm nhân lượng phối hợp ở tử thức và mẫu thức.

* lấy ví dụ 5: Tính giới hạn:

• 

*
 
*

c)  với  và 

*
 là biểu thức đựng căn ko đồng bậc.

 Giả sử: 

*
 với 
*

 Ta phân tích: 

*

* ví dụ như 6: tìm giới hạn:

•

*

 

*
*

* bài bác tập áp dụng tìm giới hạn

¤ bài xích tập 1: Tìm các giới hạn sau

*

¤ Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau

*

¤ Bài tập 3: Tìm các giới hạn sau

*

¤ Bài tập 4: Tìm những giới hạn sau

*

*

* Phương pháp: Ta cũng thường áp dụng các phương thức như những dạng trên

* Ví dụ 7: Tìm giới hạn sau:

*

* bài tập vận dụng tìm giới hạn

¤ Bài tập 1: Tìm những giới hạn sau

*

*

* Phương pháp: Ta cũng thường thực hiện các cách thức như các dạng trên

* Ví dụ 8: Tìm giới hạn sau:

•

*
 
*

* bài tập vận dụng tìm giới hạn

¤ bài bác tập 1: Tìm những giới hạn sau

*

*

* Phương pháp:

_ trường hợp P(x), Q(x) là những đa thức thì chia cả tử và mẫu đến luỹ thừa tối đa của x

_ ví như P(x), Q(x) bao gồm chứa căn thì rất có thể chia cả tử với mẫu mang lại luỹ thừa tối đa của x hoặc nhân lượng liên hợp.

*

* lấy ví dụ như 1: Tính những giới hạn sau

*

* bài bác tập áp dụng tìm giới hạn

¤ bài bác tập 1: Tìm các giới hạn sau

*

¤ bài xích tập 2: Tìm những giới hạn sau

*

*

* Phương pháp: Ta thường sử dụng nhân lượng phối hợp cả tử cùng mẫu

* ví dụ 2: Tìm các giới hạn

a)

*

*

b)

*

 

*

 

*

* bài xích tập áp dụng tìm giới hạn

¤ bài tập 1: Tìm số lượng giới hạn sau

*

¤ bài bác tập 2: Tìm số lượng giới hạn sau

*

*

* Phương pháp: Sử dụng tổng hợp các phương pháp trên

* ví dụ như 3: Tìm các giới hạn sau:

a)

*

 

*

b)

*

 

*

 

*

 Do: 

*
; 
*

* bài tập áp dụng tìm giới hạn

¤ bài bác tập 1: Tìm giới hạn sau

*

¤ bài tập 2: Tìm các giới hạn sau

*

* Mối quan hệ giới tính giữa giới hạn một mặt và giới hạn tại một điểm

 

*

 - Sử dụng cách tính giới hạn của hàm số.

Xem thêm: Thể Loại Của Bài Sài Gòn Tôi Yêu (Chi Tiết), Sài Gòn Tôi Yêu

* Ví dụ 1: Tìm giới hạn một mặt của hàm số tại điểm được chỉ ra:

*

° Hướng dẫn:

*

* lấy một ví dụ 2: Tìm quý giá của m để các hàm số sau có số lượng giới hạn tại điểm được chỉ ra:

*

° Hướng dẫn:

 

*

 

*

- Để hàm số có số lượng giới hạn tại x = 1 thì:

*

* bài xích tập vận dụng

¤ Bài tập 1: Tìm những giới hạn một bên của hàm số trên điểm được chỉ ra

*

¤ bài tập 2: Tìm giá trị của m để các hàm số sau có giới tại điểm được chỉ ra

*

Hy vọng với phần hướng dẫn cụ thể các dạng toán giới hạn hàm số, bài tập về số lượng giới hạn hàm số làm việc trên giúp các em hiểu rõ về cách tính số lượng giới hạn hàm số và áp dụng linh hoạt vào các bài toán, hầu hết thắc mắc những em hãy để lại bình luận dưới nội dung bài viết để được giải đáp nhé, chúc những em học tập tốt.