Tổng hợp kiến thức toán 10

Tổng hợp kiến thức và kỹ năng cần cố gắng vững, những dạng bài bác tập và câu hỏi có tài năng xuất hiện nay trong đề thi HK1 Toán học tập 10 sắp tới

Phần 1

Mệnh đề - Tập hợp

1.

Bạn đang xem: Tổng hợp kiến thức toán 10

Mệnh đề

- Mệnh đề là những khẳng định có tính đúng(Đ) hoặc sai(S).

Mỗi mệnh đề buộc phải đúng hoặc sai. Một mệnh đề cần thiết vừa đúng vừa sai.

- Phủ định của một mệnh đề (A) là mệnh đề (overline A ).

 +(overline A ) đúng nếu (A) sai.

 +(overline A ) sai nếu như (A) đúng.

- Mệnh đề kéo theo: Mệnh đề kéo theo (A Rightarrow B) chỉ sai khi (A) đúng,(B) sai

 +(B Rightarrow A) là mệnh đề đảo của (A Rightarrow B).

 + ví như (A Rightarrow B) đúng thì (A)là điều kiện đủ để có (B)và (B) là đk cần để sở hữu (A).

- Mệnh đề tương đương:

 + Mệnh đề tương đương (A Leftrightarrow B) là 1 mệnh đề đúng nếu (A) với (B) cùng đúng hoặc cùng sai.

 + ví như (A Leftrightarrow B) đúng thì:

(A Rightarrow B) là định lí thuận(B Rightarrow A) là định lí đảo(A Leftrightarrow B) là định lí thuận đảo(A) là đk cần và đủ để sở hữu (B)(B) là đk cần với đủ để có (A)

- Mệnh đề cất biến, kí hiệu p(x)

Mệnh đề chứa trở thành p(x) là 1 trong những phát biểu có liên quan đến đại lượng biến đổi x.p(x) là 1 trong những mệnh đề ví như ta mang đến x một cực hiếm nhất định.

- Mệnh đề với mọi: (forall x in X:p(x))

- Mệnh đề tồn tại: (exists x in X:p(x))

- phương pháp chứng minh bởi phản chứng: Để minh chứng P đúng, ta mang sử p sai rồi áp dụng lập luận toán học nhằm suy ra mâu thuẫn.

Các dạng toán thường gặp

1. Dạng 1: Định cực hiếm của một mệnh đề

Phương pháp

- bình chọn tính đúng sai của mệnh đề.

- Mệnh đề chứa biến: kiếm tìm tập thích hợp (D) của những biến (x) để (p(x)) đúng hoặc sai.

2. Dạng 2: tuyên bố định lí bên dưới dạng đk cần, đủ

Phương pháp

Nếu (A Rightarrow B) đúng: (A) là đk đủ để có (B)

Nếu (B Rightarrow A) sai: (B) là đk cần để sở hữu (A)

Nếu (A Rightarrow B) đúng và (B Rightarrow A) đúng: (A) là điều kiện cần cùng đủ để sở hữu (B).

3. Dạng 3: tìm mệnh đề đậy định

Phương pháp

1) (overline A wedge B Leftrightarrow overline A vee overline B )

(overline A vee B Leftrightarrow overline A wedge overline B )

2) (overline forall x in D:p(x) Leftrightarrow exists x in D:overline p(x) )

(overline exists x in D:p(x) Leftrightarrow forall x in D:overline p(x) )

4. Dạng 4: minh chứng định lí (A Rightarrow B)

Phương pháp:

Cách 1: chứng minh trực tiếp

Ta trả thiết A đúng, thực hiện giả thiết và suy luận toán học để dẫn đến B đúng.

Cách 2: chứng minh bằng bội phản chứng

Ta đưa thiết B sai, thực hiện suy luận toán học để dẫn đến A sai.

2.Tập phù hợp và những phép toán trên các tập hợp

Tập con: (A subset B Leftrightarrow forall x,x in A Rightarrow x in B).

Hai tập hợp bởi nhau: (A = B Leftrightarrow A subset B) với (B subset A).

Hợp của nhị tập hợp: (A cup B = m xleft).

Giao của hai tập hợp: (A cap B = x in A ight.)và(x in B m ).

Hiệu của 2 tập vừa lòng bất kì: (Aackslash B = left x in A,x otin B ight. ight\).

Phép đem phần bù của (A) vào (E)((A subset E)): (C_EA = left x in E,x otin A ight. ight\).

* Các tập hợp con của tập hợp số thực

(mathbbN* subset mathbbN subset mathbbZ subset mathbbQ subset mathbbR)

 

Các dạng toán thường gặp

1. Dạng 1: tìm kiếm tập hợp

Phương pháp

Phép liệt kê: (A = left( a_1;a_2;a_3;... ight))

Nêu tính đặc trưng: (A = left x in X ight\)

2. Dạng 2: kiếm tìm tập thích hợp con

Phương pháp

(eginarraylA subset B Leftrightarrow forall x in A Rightarrow x in B\A otsubset B Leftrightarrow exists x in A Rightarrow x otin Bendarray)

3. Dạng 3: nhị tập hợp bởi nhau

Phương pháp

(A = B Leftrightarrow A subset B) và (B subset A)

(A e B Leftrightarrow A otsubset B) hoặc (B otsubset A)

4. Dạng 4: những phép toán giao, hợp, hiệu

Phương pháp

B1: Liệt kê A, B

B2: (A cap B):Lấy bộ phận chung

(A cup B): Lấy phần tử chung và riêng (Chỉ ghi một lượt các phần tử giống nhau)

(Aackslash B): Lấy thành phần của A và không hẳn của B 

Phần 2

Hàm số số 1 và bậc hai

1. Tập xác minh của hàm số

Tập khẳng định của hàm số (y = fleft( x ight)) là tập hợp tất cả các số thực (x) sao để cho biểu thức (fleft( x ight)) có nghĩa.

Điều kiện xác minh của một số trong những dạng biểu thức:

(dfrac1A)có nghĩa khi và chỉ còn khi (A e 0)

(sqrt A ) có nghĩa khi và chỉ khi (A ge 0)

(dfrac1sqrt A ) có nghĩa khi còn chỉ khi (A > 0)

2. Tính chẵn – lẻ của hàm số

Cho hàm số (y = fleft( x ight)) xác minh trên (D)

a) Hàm số (f) là hàm số chẵn nếu vừa lòng cả 2 điều kiện:

(left{ eginarrayl - x in D\fleft( - x ight) = fleft( x ight)endarray ight.forall x in D)

Đồ thị của (f) nhấn trục tung có tác dụng trục đối xứng.

b) Hàm số (f) là hàm số lẻ nếu thỏa mãn cả 2 điều kiện:

(left{ eginarrayl - x in D\fleft( - x ight) = - fleft( x ight)endarray ight.forall x in D)

Đồ thị của (f) dấn gốc tọa độ  làm tâm đối xứng.

3. Sự trở nên thiên

Hàm số (y = fleft( x ight)) khẳng định trên (D)

Hàm số đồng biến chuyển trên (D) giả dụ (forall x_1,x_2 in D:x_1 fleft( x_2 ight)).

4. Tịnh tiến thiết bị thị hàm số

Trong ( mOxy), mang đến đồ thị (left( G ight)) của hàm số (y = fleft( x ight)); (p) với (q) là nhì số dương tùy ý. Lúc đó:

a) Tịnh tiến (left( G ight)) lên ở trên (q) đơn vị chức năng thì được vật thị hàm số (y = fleft( x ight) + q)

b) Tịnh tiến (left( G ight)) xuống dưới (q) đơn vị thì được vật dụng thị hàm số (y = fleft( x ight) - q)

c) Tịnh tiến (left( G ight)) lịch sự trái (p) đơn vị chức năng thì được thiết bị thị hàm số (y = fleft( x + p ight))

d) Tịnh tiến (left( G ight)) sang nên (p) đơn vị thì được vật dụng thị hàm số (y = fleft( x - p ight))

5. Hàm số bậc nhất

a) Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số bao gồm dạng (y = ax + bleft( a e 0 ight))

Tập xác định: (D = mathbbR).

b) Sự thay đổi thiên (tính đối kháng điệu)

Khi (a > 0), hàm số đồng thay đổi trên (mathbbR)

Khi (a Đặc điểm: Đồ thị của hàm số (y = ax + bleft( a e 0 ight)) là một đường thẳng (d) có hệ số góc a, không tuy nhiên song và không trùng với những trục tọa độ. Đồ thị cắt trục tung tại (Bleft( 0;b ight)) và giảm trục hoành trên (Aleft( - dfracba;0 ight)).

Chú ý:

+ hệ số góc (a = an alpha ) cùng với (alpha ) là góc tạo vị (d) cùng (Ox).

+ Hàm số (y = bleft( a = 0 ight)) là hàm hằng, đồ vậy nên đường thẳng tuy nhiên song (left( b e 0 ight)) hoặc trùng (left( b = 0 ight)) với trục hoành.

+ đến 2 mặt đường thẳng (left( d ight):y = ax + b) với (left( d" ight):y = a"x + b"), ta có:

(left( d ight)) tuy vậy song với (left( d" ight))( Leftrightarrow a = a") cùng (b e b").(left( d ight)) trùng với (left( d" ight))( Leftrightarrow a = a") cùng (b = b").(left( d ight)) cắt (left( d" ight))( Leftrightarrow a e a").(left( d ight)) vuông góc cùng với (left( d" ight))( Leftrightarrow a.a" = - 1).

d) Hàm số số 1 trên từng khoảng

Hàm số hàng đầu trên từng khoảng là sự việc “lắp ghép” của các hàm số số 1 khác nhau bên trên từng khoảng. Hàm số gồm dạng:

(y = left{ eginarrayla_1x + b_1 m x in mD_1\a_2x + b_2 m x in mD_2\...endarray ight.) với (D_1,D_2) là các khoảng (đoạn, nửa khoảng) trên (mathbbR)

Sự phát triển thành thiên:

Xét tính đồng biến, nghịch biến của những hàm số:

(y = a_1x + b_1) trên (D_1)

(y = a_2x + b_2) trên (D_2)

...

Từ đó suy ra sự biến thiên của hàm số đã mang lại trên (D_1 cup D_2 cup ...)

Đồ thị của hàm số này là đường sinh sản bởi bài toán lắp ghép đồ thị những hàm số

(y = a_1x + b_1) bên trên (D_1),(y = a_2x + b_2) trên (D_2).

Hàm số (y = left| ax + b ight|left( a e 0 ight)): Là hàm số bậc nhất trên từng khoảng

(y = left{ eginarraylax + b mkhix ge - dfracba\ - ax - b mkhix le - dfracbaendarray ight.)

Cách vẽ đồ vật thị hàm số(y = left| ax + b ight|left( a e 0 ight)): Vẽ hai tuyến phố thẳng (y = ax + b) cùng (y = - ax - b)rồi xóa đi phần mặt đường thẳng nằm dưới trục hoành.

6. Hàm số bậc hai

a) Định nghĩa: Hàm số bậc nhị là hàm số có dạng (y = ax^2 + bx + cleft( a e 0 ight)).

b) Sự trở thành thiên

- nếu như (a > 0), hàm số đồng trở thành trên (left( - dfracb2a; + infty ight)), nghịch phát triển thành trên (left( - infty ; - dfracb2a ight)). Giá chỉ trị bé dại nhất của hàm số bên trên (mathbbR) là ( - dfracDelta 4a) tại (x = - dfracb2a).

- nếu (a 0), hướng xuống bên dưới khi (a biện pháp vẽ:

Xác định đỉnh (left( - dfracb2a; - dfracDelta 4a ight)) trên (Oxy).Vẽ trục đối xứng (x = - dfracb2a).Tìm các điểm ở trong Parabol (thay lần lượt những giá trị của (x) vào (y = ax^2 + bx + c) rồi tìm y để được các điểm (left( x;y ight)) tương ứng)Dựa bề lõm cùng trục đối xứng, nối đỉnh với những điểm vừa kiếm được với nhau.

Các dạng toán thường xuyên gặp

1. Dạng 1: tìm kiếm tập xác định của hàm số

Phương pháp

Tập khẳng định của hàm số (y = fleft( x ight)) là tập những giá trị của (x)sao mang đến biểu thức (fleft( x ight)) tất cả nghĩa

Chú ý : ví như (Pleft( x ight)) là 1 trong đa thức thì: * (dfrac1Pleft( x ight)) tất cả nghĩa( Leftrightarrow Pleft( x ight) e 0)

* (sqrt Pleft( x ight) ) có nghĩa( Leftrightarrow Pleft( x ight) ge 0)

* (dfrac1sqrt Pleft( x ight) ) tất cả nghĩa( Leftrightarrow Pleft( x ight) > 0)

2. Dạng 2: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số

Phương pháp:

Bước 1: search tập khẳng định của hàm số.

Bước 2: Kiểm tra

- giả dụ (forall x in D Rightarrow - x in D) chuyển hẳn sang bước ba.

- nếu như (exists x_0 in D Rightarrow - x_0 otin D) kết luận hàm ko chẵn cũng ko lẻ.

Bước 3: khẳng định (fleft( - x ight)) và đối chiếu với(fleft( x ight)).

- Nếu đều bằng nhau thì kết luận hàm số là chẵn

- giả dụ đối nhau thì kết luận hàm số là lẻ

- trường hợp tồn trên một quý giá (exists x_0 in D) cơ mà (fleft( - x_0 ight) e fleft( x_0 ight),fleft( - x_0 ight) e - fleft( x_0 ight)) tóm lại hàm số không chẵn cũng không lẻ.

3.Dạng 3: Xét tính đơn điệu của hàm số

Phương pháp

Cách 1: đến hàm số (y = fleft( x ight)) xác minh trên (K). Mang (x_1,x_2 in K; m x_1 0).

+) Hàm số nghịch trở nên trên (K Leftrightarrow T 0).

Xem thêm: Những Bài Tham Luận Hay Về Công Đoàn, Access Was Denied

+) Hàm số nghịch biến đổi trên (K Leftrightarrow T Hoành độ đỉnh (x_0 = - dfracb2a)Trục đối xứng là đường thẳng (left( Delta ight):x = - dfracb2a)

6. Dạng 6: search GTLN-GTNN nhờ vào Parabol

Phương pháp

Xét Parabol (P): (y = ax^2 + bx + cleft( a > 0 ight)). Tìm kiếm (mathop max limits_D y = GTLN(y);mathop min limits_D y = GTNN(y)) với (D = left< alpha ;eta ight>)

Hoành độ đỉnh Parabol (P): (x_0 = - dfracb2a).

Nếu (x_0 in D:left{ eginarraylGTLN(y) = max left fleft( alpha ight);fleft( eta ight) ight\GTNN(y) = fleft( x_0 ight)endarray ight.)

Nếu (x_0 otin D:left{ eginarraylGTLN(y) = max left fleft( alpha ight);fleft( eta ight) ight\GTNN(y) = min left fleft( alpha ight);fleft( eta ight) ight\endarray ight.)