Lực hướng tâm là một trong loại lực cần để gia công cho một vật đi theo một quy trình cong<1>. Isaac Newton đã diễn tả lực này trong cuốn Principia của ông<2>. Ngẫu nhiên lực như thế nào (trọng lực, lực điện từ, v.v.) hoặc sự kết hợp các lực cùng nhau đều có thể đóng vai trò là lực phía tâm. Ta rất có thể thấy một lấy một ví dụ về chuyển động tròn phần đa trên hình bên phải.

Bạn đang xem: Trong chuyển động tròn nhanh dần đều lực hướng tâm


*

Ví dụ đơn giản và dễ dàng về vận động tròn đều. Một trái banh được buộc vào một trục quay và đang chuyển phiên ngược chiều kim đồng hồ đeo tay trên một quỹ đạo xác minh với vận tốc góc ω. Gia tốc của trái banh là 1 trong những vector tiếp tuyến với quỹ đạo, và liên tục biến đổi phương, gây ra do lực luôn luôn hướng về tâm. Lực phía tâm bởi dây tạo ra, bên dưới dạng trương lực dây.

Vector gia tốc được khái niệm là vận tốc của vật cùng với hướng đưa động. Hồ hết vật gồm tổng lực ảnh hưởng triệt tiêu sẽ không tăng tốc và bởi vì đó di chuyển theo một con đường thẳng với tốc độ không đổi; chúng có vận tốc là 1 trong hằng số. Tuy nhiên, một vật di chuyển theo con đường tròn, khoác dù di chuyển với vận tốc không đổi, vẫn có sự thay đổi hướng gửi động. Độ chuyển đổi vector gia tốc của đồ gia dụng trong trường hợp này gọi là gia tốc hướng tâm.

Gia tốc hướng chổ chính giữa khác nhau nhờ vào vào bán kính cong của quy trình (R) và vận tốc (v) của vật, gia tốc tăng nếu vận tốc tăng hoặc bán kính giảm. Ví như một vật dụng đang di chuyển theo một con đường tròn với tốc độ biến thiên, tốc độ của nó rất có thể được phân thành hai thành phần: vận tốc hướng vai trung phong (gia tốc làm thay đổi hướng vận tốc) và tốc độ tiếp đường (gia tốc làm chuyển đổi độ béo vận tốc).

Độ béo của lực hướng vai trung phong được mang đến theo công thức:

Fht=mv2r=mω2rdisplaystyle F_ht=frac mv^2r=momega ^2r

trong kia m là khối lượng, v là vận tốc dài, ωdisplaystyle ce omega là tốc độ góc và r là bán kính cong của quỹ đạo.

Đối với 1 vệ tinh cất cánh trong hành trình quanh trái đất, lực phía tâm bởi vì lực trọng trường sản xuất thành giữa vệ tinh với trái đất, và công dụng lực hướng đến khối trọng tâm của nhị vật. Đối với một vật được đã tích hợp đầu một gai dây sẽ quay theo trục đứng, lực hướng trọng điểm là thành phần nằm ngang của trương lực dây, tính năng hướng về tâm khối lượng giữa trục quay và vật quay. Đối với 1 vật đang xoay quanh bao gồm nó, lực căng bên trong là lực hướng trung tâm giữ mang đến vật là một trong khối.

Dưới đây là ba ví dụ bao gồm độ phức tạp tăng dần, sử dụng những công thức liên quan đến tốc độ và gia tốc.

Chuyển rượu cồn tròn đều

Chuyển đụng tròn rất nhiều là trường hợp bao gồm độ quay gắng định. Dưới đấy là hai bí quyết tiếp cận vấn đề.

Phương pháp hình học

Hình tròn bên trái: quỹ đạo của một chất điểm – chất điểm dịch rời trên một vòng tròn với tốc độ tiếp đường với quỹ đạo; Hình bên phải: "đường tròn vận tốc"; các vector tốc độ được dịch rời về bình thường một gốc: vì vận tốc là 1 trong hằng số trong vận động đều, đỉnh của vector vận tốc tạo thành một mặt đường tròn, và gia tốc là tiếp tuyến của đường tròn vận tốc. Điều đó tức là gia tốc là phía tâm trong vòng tròn phía trái với hình quỹ đạo.

Ở hình mặt phải, vòng tròn phía bên trái là hình một đồ vật đang dịch chuyển trên một con đường tròn với vận tốc không đổi tại nhì thời điểm khác nhau trên quỹ đạo của nó. Vị trí của nó được chỉ bởi vì vector R và tốc độ là vector v.

Vector vận tốc luôn luôn luôn vuông góc với vector vị trí (vì vector vận tốc luôn tiếp tuyến với tiến trình tròn). Bởi vì R di chuyển theo con đường tròn, cho nên vì thế v cũng vậy. Chuyển động tròn của tốc độ được diễn tả trong mặt đường tròn làm việc hình bên phải, thuộc với vận tốc a. Cũng tương tự vận tốc là mức độ chuyển đổi vị trí, gia tốc đó là mức độ biến hóa của vận tốc.

Vì vị trí với vận tốc dịch rời cùng nhau, bọn chúng xoay xung quanh vòng tròn của bọn chúng với cùng chu kỳ T. Khoảng thời hạn đó bởi với khoảng cách đi được chia cho vận tốc.


T=2π|R||v|displaystyle T=frac 2pi

và, tương tự,

T=2π|v||a|displaystyle T=frac 2pi

Cho hai phương trình này bằng nhau và giải nhằm tìm |a|, ta có

|a|= |v|2|R|mathbf a

Vận tốc chuyển phiên tính theo radian bên trên giây là:

ω=2πTdisplaystyle omega =frac 2pi T

So sánh hai vòng tròn trong hình bên, ta cũng thấy vận tốc hướng về trung ương của vòng tròn R. Ví dụ, trong con đường tròn bên trái, vector địa chỉ R chỉ vào địa điểm 12 giờ gồm vector tốc độ v của chính nó hướng vị trí 9 giờ, còn ở hình bên phải, vector gia tốc a chỉ vào địa điểm 6 giờ. Cho nên vì thế vector tốc độ là ngược hướng với R và hướng về tâm của vòng tròn R.

Sử dụng vector

Mối quan hệ nam nữ vector đối với vận động tròn đều; vector Q đại diện thay mặt cho vận động quay là vector pháp tuyến đường của phương diện phẳng quỹ đạo có chiều được xác định bằng luật lệ bàn tay đề nghị và độ bự là dθ /dt.

Hình bên cho biết thêm mối quan hệ giới tính vector trong vận động tròn đều. Bạn dạng thân sự tảo được đại diện thay mặt bằng vector Q, là vector pháp tuyến đường của khía cạnh phẳng tiến trình (sử dụng luật lệ bàn tay phải) và tất cả độ lớn xác định bằng công thức:

|Ω|=dθdt=ωdisplaystyle

với θ là tọa độ góc vào thời điểm t. Vào phần này, dθ/dt được đưa thiết là không vắt đổi, không phụ thuộc vào thời gian. Độ di chuyển ℓ trong khoảng thời gian vi phân dt trên hành trình tròn là

dℓ=Ω×r(t)dtdisplaystyle mathrm d oldsymbol ell =mathbf Omega imes mathbf r (t)mathrm d t,

trong đó, theo đặc thù của tích có vị trí hướng của hai vector, tất cả độ lớn bởi rdθ và tất cả phương vuông góc cùng với quỹ đạo.

Do đó,

drdt=r(t+dt)−r(t)dt=dℓdtdisplaystyle frac mathrm d mathbf r mathrm d t=frac mathbf r (t+mathrm d t)-mathbf r (t)mathrm d t=frac mathrm d oldsymbol ell mathrm d t

Nói cách khác,

v=defdrdt=dℓdt=Ω×r(t)displaystyle mathbf v stackrel mathrm def = frac mathrm d mathbf r mathrm d t=frac mathrm d mathbf oldsymbol ell mathrm d t=mathbf Omega imes mathbf r (t)

Đạo hàm theo thời gian,

a=defdvdt=Ω×dr(t)dt=Ω×<Ω×r(t)>displaystyle mathbf a stackrel mathrm def = frac mathrm d mathbf v dmathrm t =mathbf Omega imes frac mathrm d mathbf r (t)mathrm d t=mathbf Omega imes left

Công thức Lagrange mang đến biết:

a×(b×c)=b×(a⋅c)−c×(a⋅b)displaystyle mathbf a imes left(mathbf b imes mathbf c ight)=mathbf b imes left(mathbf a cdot mathbf c ight)-mathbf c imes left(mathbf a cdot mathbf b ight)

Áp dụng cách làm Lagrange, để ý rằng Ω • r(t) = 0 tại gần như thời điểm,

a=−|Ω|2r(t)displaystyle mathbf a =-mathbf ^2mathbf r (t)

Nói một phương pháp nôm na, gia tốc luôn luôn có hướng ngược cùng với vector xuyên trung tâm r, và tất cả độ béo bằng:

|a|=|r(t)|(dθdt)2=Rω2left(frac mathrm d heta mathrm d t ight)^2=Romega ^2

trong đó ký kết hiệu |...| để chỉ độ to của vector, cùng với r(t) solo giản chính là bán kính R của quỹ đạo. Tác dụng này hoàn toàn khớp với mục trước trường hợp ta thay tốc độ quay bằng chu kỳ T:


dθdt=ω=2πT=|v|Rdisplaystyle frac mathrm d heta mathrm d t=omega =frac 2pi T=frac R

Khi tốc độ quay là hằng số như trong vận động tròn không đều, bí quyết phân tích này cũng khớp với cách này.

Cái tuyệt của cách tiếp cận bởi vector là ở phần nó độc lập hiển nhiên với bất kỳ hệ tọa độ nào.

Ví dụ: Rẽ cua xung quanh phẳng nghiêng

Bài bỏ ra tiết: Rẽ cua xung quanh phẳng nghiêng

Hình trái: Trái banh trên một con đường cong nghiêng đang dịch chuyển với vận tốc không thay đổi v; hình phải: lực tính năng lên banh. Lực tổng thích hợp lên trái banh được tìm bởi tổng vector làm phản lực bởi mặt đường tác dụng và lực thẳng đứng là trọng lực phải bằng lực hướng tâm quan trọng để vật dịch rời theo đường cong.

Hình bên cho biết một trái banh đang chuyển động trên một mặt phẳng cong nghiêng. Khía cạnh cong nghiêng một góc θ so với khía cạnh phẳng ngang, và mặt phẳng đường xem như thể trơn. Mục tiêu của bọn họ là tra cứu xem góc nghiêng của phương diện phẳng nên là từng nào để kiêng banh không trượt thoát ra khỏi mặt đường<3>. Trên đường cong ở ngang không có độ nghiêng, trái banh sẽ chớp nhoáng trượt ra khỏi mặt đường; còn với mặt con đường rất dốc, trái banh sẽ trượt về trung trung tâm trừ lúc nó dịch rời rất nhanh.

Khung bên phải của hình cho biết thêm các lực tính năng trên trái banh. Có hai lực: một là lực trọng trường hướng thẳng xuống dưới xuyên thẳng qua khối trung ương của trái banh mg trong số ấy m là khối lượng quả banh với g là gia tốc trọng trường; lực lắp thêm hai là bội nghịch lực phía lên bên trên do phương diện đường công dụng vuông góc với mặt phẳng đường man. Lực hướng trọng tâm trên Hình bên là tổng hợp lực gồm được bằng phương pháp cộng vector phản lực và trọng lực với nhau, và không phải là lực vật dụng ba tác dụng lên banh.

Tổng vừa lòng lực nằm ngang công dụng lên banh là thành phần nằm theo chiều ngang của lực vì chưng mặt đường tác dụng, có độ bự là |Fh| = m|an|sinθ. Yếu tố thẳng đứng của lực từ phương diện đường đề xuất bù trừ cùng với trọng lực, tức là |Fv| = m|an|cosθ = m|g|. Theo đó ta rất có thể tìm hợp lực là:

|Fh|=m|g|sin⁡θcos⁡θ=m|g|tan⁡θmathbf g

Mặt khác, với vận tốc |v| trê tuyến phố cong bán kính R, đụng lượng nói rằng lực cần thiết để khiến trái banh cua thường xuyên trên đường trong là lực hướng trọng tâm Fc tất cả độ lớn:

|Fc|=m|ac|=m|v|2Rmathbf F _mathrm c

Do đó, trái banh vị trí một quỹ đạo bất biến khi góc nghiêng của mặt đường vừa lòng điều kiện:

m|g|tan⁡θ=m|v|2R an heta =frac mR,

hoặc,

tan⁡θ=|v|2|g|Rdisplaystyle an heta =frac

Khi góc nghiêng θ đạt đến 90°, hàm tiến đến vô cùng, nghĩa là quý hiếm |v|2/R rất lớn. Nói một cách nôm na, phương trình này cho biết tốc độ càng tốt (|v| càng lớn) thì mặt mặt đường càng đề nghị dốc (giá trị θ lớn hơn), và đối với góc cua càng gấp (R nhỏ) mặt con đường cũng nên càng dốc, do đó là phù hợp với trực giác. Khi góc θ không thỏa mãn điều kiện trên, thành phần nằm theo chiều ngang của lực vì mặt đường tính năng không tạo ra một lực hướng trung tâm đúng, và gồm thêm lực ma sát tiếp tuyến đường với mặt con đường sẽ khử đi sự chênh lệch<4>. Ví như ma sát cần thiết làm điều này (có nghĩa là hệ số ma gần kề thấp), trái banh đã trượt sang nửa đường kính khác để có được sự cân nặng bằng<5><6>.

Những ý tưởng này cũng rất được áp dụng vào sản phẩm không. Coi sổ tay phía dẫn dành riêng cho phi công FAA<7>.

Trái: ba giai đoạn hoạt động của yo-yo cho biết chuyển động xoay, Phải: quỹ đạo tròn của yo-yo được lý tưởng hóa thành một hình ê-líp cực thon.Ví dụ: nhỏ yo-yo

Một ví dụ thú vui khác tương quan đến lực hướng trọng điểm là yo-yo.Khi gai dây được thả ra, yo-yo xoay xuống về một bên của sợi dây. Khi tua dây được buông ra hoàn toàn, yo-yo tiếp tục xoay trong khi tiến hành một cú luân chuyển hình chữ U đúng 180 độ theo phương tịnh tiến của nó. Tiếp đến nó chuyển phiên lên lại về phía bên kia của tua dây, trong khi đồng thời khiến cho sợi dây cuộn lại một lượt nữa. Vào hình hành động này được vẽ ở phía bên trái với cha điểm khác biệt trong quy trình chuyển động; mũi tên cho biết thêm hướng vận động sự quay. Cố gắng năng của yo-yo trên điểm cao nhất của hoạt động sẽ trở thành động năng xoay lúc nó rơi xuống, rồi tiếp nối lại chuyển thành vậy năng trọng trường khi nó chạy lên.<8>


Hình bên đề xuất là quỹ đạo lý tưởng của khối trọng điểm yo-yo tạo nên thành một hình ê-líp. Hoạt động trên quy trình này đòi hỏi phải có lực hướng tâm, lực này đạt mang đến giá trị cực đại ở phía cuối quỹ đạo khi góc cong khôn cùng lớn. Mũi tên blue color cho thấy lực phía tâm, nằm theo hướng thẳng đứng nghỉ ngơi phía cuối quỹ đạo. Tại đó, sự hòn đảo chiều trong vận động được tạo nên từ lực căng của gai dây đã được bung ra trả toàn. Lực căng này liên tiếp theo phương từ bỏ điểm nối với gai dây cho đến khối trung khu của yo-yo, chế tác thành lực hướng tâm khiến yo-yo xoay theo hình chữ U xung quanh đầu cuối gai dây<9>.

Chuyển đụng tròn ko đều

Hình: tốc độ và vận tốc trong vận động tròn không đều: vector tốc độ tiếp tuyến đường với quỹ đạo, tuy vậy vector gia tốc thì không phía tâm do nó có thành phần tiếp tuyến aθ làm tăng vận tốc quay: dω / dt = | aθ| / R.

Để tổng quát hóa trường hợp hoạt động tròn không đều, trả sử vận tốc góc của chuyển động quay ko phải là một hằng số. Hôm nay gia tốc bao gồm một thành phần tiếp tuyến, như trên Hình bên. Trường phù hợp này được dùng làm biểu diễn một phương án suy diễn dựa vào hệ tọa độ cực.

Gọi r(t) là vector biểu đạt vị trí khối trung ương theo thời gian. Vì họ đang giả sử phía trên là hoạt động tròn, điện thoại tư vấn r(t) = R·ur, trong số ấy R là hằng số (bán kính của mặt đường tròn) và ur là vector đơn vị hương tự điểm hoạt động đến khối tâm. Vị trí của ur được diễn tả theo θ, góc tạo vì trục x là vector đối kháng vị, đo theo phía ngược chiều kim đồng hồ đeo tay từ trục x. Vector đơn vị chức năng khác dành riêng cho hệ tọa độ cực, uθ vuông góc cùng với ur và đa số điểm theo hướng θ tăng dần. Hầu như vector đơn vị cực này hoàn toàn có thể được trình diễn theo vector đơn vị Decartes theo phương x cùng y, ký kết hiệu lần lượt là i cùng j:<10>

ur = cosθ i + sinθ j

và

uθ = sinθ i + cosθ j.

Chúng ta đem đạo hàm nhằm tìm vận tốc:

v=Rdurdt=Rddt(cos⁡θi+sin⁡θj)displaystyle mathbf v =Rfrac mathrm d mathbf u _mathrm r mathrm d t=Rfrac mathrm d mathrm d tleft(cos heta mathbf i +sin heta mathbf j ight)=Rdθdt(−sin⁡θi+cos⁡θj)displaystyle =Rfrac d heta dtleft(-sin heta mathbf i +cos heta mathbf j ight),=Rdθdtuθdisplaystyle =Rfrac mathrm d heta mathrm d tmathbf u _mathrm heta ,=ωRuθdisplaystyle =omega Rmathbf u _mathrm heta ,

trong đó ω là vận tốc góc dθ/dt.

Kết quả vận tốc này trùng khớp với mong rằng rằng gia tốc sẽ phía tiếp đường với vòng tròn, với rằng độ lớn vận tốc sẽ là ωR. Đạo hàm một lần nữa, và chú ý rằng

duθdt=−dθdtur=−ωurdisplaystyle frac mathrm d mathbf u _mathrm heta mathrm d t=-frac mathrm d heta mathrm d tmathbf u _mathrm r =-omega mathbf u _mathrm r ,

chúng ta tìm kiếm được gia tốc, a là:

a=R(dωdtuθ−ω2ur)displaystyle mathbf a =Rleft(frac mathrm d omega mathrm d tmathbf u _mathrm heta -omega ^2mathbf u _mathrm r ight)

Do đó, thành phần hướng chổ chính giữa và tiếp đường của tốc độ là:

ar=−ω2Rur=−|v|2Rurdisplaystyle mathbf a _mathrm r =-omega ^2R mathbf u _mathrm r =-frac R mathbf u _mathrm r and aθ=Rdωdtuθ=d|v|dtuθdisplaystyle mathbf a _mathrm heta =R frac mathrm d omega mathrm d t mathbf u _mathrm heta =frac mathrm d t mathbf u _mathrm heta ,

trong kia |v| = Rω là độ lớn vận tốc (tốc độ).

Xem thêm: Tuyển Tập Đề Thi Olympic 30/4 Môn Tiếng Anh Lớp 10, Tuyển Tập Đề Thi Olympic 30 4 Môn Tiếng Anh 10

Các phương trình này cho thấy, vào trường hợp một vật di chuyển quanh một con đường tròn với vận tốc thay đổi, tốc độ của vật tất cả thể phân thành một thành phần trực giao làm biến đổi hướng hoạt động (gia tốc hướng tâm), cùng một thành phần tuy vậy song, tốt thành phần tiếp tuyến, làm chuyển đổi tốc độ.

Lực

Lực tưởng tượngLực ly tâmChuyển đụng trònLực CoriolisPhản lực ly tâm

Ví dụ: hoạt động trònCông thức Frenet-SerretHệ tọa độ trực giaoTĩnh họcĐộng họcChuyển hễ họcCơ học tập ứng dụngCơ học phân tíchĐộng lực họcCơ học cổ điển

Lấy từ “https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Lực_hướng_tâm&oldid=68182751”