- với (0 c) Đạo hàm của hàm số mũ

- Hàm số(y=e^x)có đạo hàm với mọi(x)và:(left ( e^x ight )"=e^x)

- Hàm số(y=a^x(a>0,a e 1))có đạo hàm trên mọi(x)và:(left( a^x ight)" = a^xmathop m lna olimits)

- Đối cùng với hàm hợp:

​+ ((e^u)" = u".e^u)

​+ ((a^u)" = a^u.ln a.u")

2. Hàm số Lôgarit

a) Định nghĩa hàm số Lôgarit

Cho số thực dương(a)khác 1.

Hàm số(y=log_ax)được điện thoại tư vấn là hàm số lôgarit cơ số(a.)

b) đặc thù hàm số Lôgarit

- Tập xác định:(left( 0; + infty ight).)

- Tập giá trị:(mathbbR.)

- cùng với (a>1):(y=log_ax)là hàm số đồng trở thành trên(left( 0; + infty ight).)

- cùng với (0 0,x_2>0):(log_ax_1=log_ax_2Leftrightarrow x_1=x_2)

c) Đạo hàm của hàm số logarit

- (left( log _ax ight)" = frac1xln a)

- (left( log _aleft ight)" = frac1xln a)

- (left( ln x ight)" = frac1x)

- Đối với hàm hợp:

​+ (left( log _au ight)" = fracu"u.ln a)

​+ (left( ln u ight)" = fracu"ln u)

3. Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Tính đạo hàm các hàm số sau:

a)(y = left( x^2 - 2x + 2 ight)e^x)

b)(y = 2^x^2 - 3x)

c)(y = frac2^x - 15^x)

d)(y = frace^x - e^ - xe^x + e^ - x)

Lời giải:

a)(y = left( x^2 - 2x + 2 ight)e^x Rightarrow y" = left( 2x - 2 ight)e^x + left( x^2 - 2x + 2 ight)e^x = left( x^2 ight)e^x)

b)(y = 2^x^2 - 3x Rightarrow y" = (2x - 3).2^x^2 - 3x.ln 2)

c)(y = frac2^x - 15^x = left( frac25 ight)^x - left( frac15 ight)^x Rightarrow y" = left( frac25 ight)^x.ln frac25 - left( frac15 ight)^x.ln frac15)

d)(y = frace^x - e^ - xe^x + e^ - x)

(Rightarrow y" = fracleft( e^x + e^ - x ight)left( e^x + e^ - x ight) - left( e^x - e^ - x ight)left( e^x - e^ - x ight)left( e^x + e^ - x ight)^2 = frac4left( e^x + e^ - x ight)^2)

Ví dụ 2:

Tính đạo hàm các hàm số sau:

a)(y = ln left( x^2 + 1 ight))

b)(y = fracln xx)

c)(y = left( 1 + ln x ight)ln x)

d)(y = log _3(3x^2 + 2x + 1))

Lời giải:

a)(y = ln left( x^2 + 1 ight) Rightarrow y" = frac2xx^2 + 1)

b)(y = fracln xx Rightarrow y" = frac1x^2left( frac1x.x - ln x ight) = frac1 - ln xx^2)

c)(y = left( 1 + ln x ight)ln x Rightarrow y" = fracln xx + frac1 + ln xx = frac1 + 2ln xx)

d)(y = log _3(3x^2 + 2x + 1))(Rightarrow y" = fracleft( 3x^2 + 1x + 1 ight)"(3x^2 + 2x + 1).ln 3 = frac6x + 2(3x^2 + 2x + 1).ln 3)

Ví dụ 3:

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a)(y = log _2(25 - 4x^2))

b)(y = log _2x + 1(3x + 1) - 2log _3x + 1(2x + 1))

c)(y = log _sqrt 3x + 2 (1 - sqrt 1 - 4x^2 ))

Lời giải:

a) Điều kiện:(25 - 4x^2 > 0 Leftrightarrow - frac52 0 endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarrayl x > - frac23\ x e - frac13\ x e 0 endarray ight.)

Vậy tập khẳng định của hàm số là:(D = left( - frac23; + infty ight)ackslash left - frac13;0 ight\).

Ví dụ 4:

Tìm m để hàm số(y=log _2(2x^2 + 3x + 2m - 1))xác định(forall x in mathbbR).